【題目】已知函數(shù).證明:

1存在唯一的極值點;

2有且僅有兩個實根,且兩個實根互為倒數(shù).

【答案】1)見詳解;(2)見詳解

【解析】

1)先對函數(shù)求導,根據(jù)導函數(shù)的單調(diào)性,得到存在唯一,使得,進而可得判斷函數(shù)的單調(diào)性,即可確定其極值點個數(shù),證明出結(jié)論成立;

2)先由(1)的結(jié)果,得到,,得到內(nèi)存在唯一實根,記作,再求出,即可結(jié)合題意,說明結(jié)論成立.

1)由題意可得,的定義域為,

,

,

顯然單調(diào)遞增;

,,

故存在唯一,使得;

又當時,,函數(shù)單調(diào)遞增;當時,,函數(shù)單調(diào)遞減;

因此,存在唯一的極值點;

2)由(1)知,,又,

所以內(nèi)存在唯一實根,記作.

,

,

是方程內(nèi)的唯一實根;

綜上,有且僅有兩個實根,且兩個實根互為倒數(shù).

練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】關(guān)于函數(shù),.有下列命題:

①對,恒有成立.

,使得成立.

③“若,則有.”的否命題.

④“若,則有.”的逆否命題.

其中,真命題有_____________.(只需填序號)

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】如圖,三棱錐中,平面,,的中點,的中點,點上,

1)證明:平面平面

2)證明:平面;

3)求二面角的正弦值.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】已知,又有四個零點,則實數(shù)的取值范圍是( )

A.B.C.D.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】已知圓心為的圓經(jīng)過點,且圓心在直線上.

1)求圓的方程;

2)若過點的直線被圓截得的弦長為,求直線的方程.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】設(shè)甲、乙兩位同學上學期間,每天7:30之前到校的概率均為.假定甲、乙兩位同學到校情況互不影響,且任一同學每天到校情況相互獨立.

(Ⅰ)用表示甲同學上學期間的三天中7:30之前到校的天數(shù),求隨機變量的分布列和數(shù)學期望;

(Ⅱ)設(shè)為事件“上學期間的三天中,甲同學在7:30之前到校的天數(shù)比乙同學在7:30之前到校的天數(shù)恰好多2”,求事件發(fā)生的概率.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】設(shè)函數(shù)的導函數(shù).

(Ⅰ)求的單調(diào)區(qū)間;

(Ⅱ)當時,證明;

(Ⅲ)設(shè)為函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的零點,其中,證明.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】為了解甲、乙兩種離子在小鼠體內(nèi)的殘留程度,進行如下試驗:將200只小鼠隨機分成兩組,每組100只,其中組小鼠給服甲離子溶液,組小鼠給服乙離子溶液.每只小鼠給服的溶液體積相同、摩爾濃度相同.經(jīng)過一段時間后用某種科學方法測算出殘留在小鼠體內(nèi)離子的百分比.根據(jù)試驗數(shù)據(jù)分別得到如下直方圖:

為事件:“乙離子殘留在體內(nèi)的百分比不低于”,根據(jù)直方圖得到的估計值為.

(1)求乙離子殘留百分比直方圖中的值;

(2)分別估計甲、乙離子殘留百分比的平均值(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值為代表).

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】改革開放以來,人們的支付方式發(fā)生了巨大轉(zhuǎn)變.近年來,移動支付已成為主要支付方式之一.為了解某校學生上個月A,B兩種移動支付方式的使用情況,從全校學生中隨機抽取了100人,發(fā)現(xiàn)樣本中A,B兩種支付方式都不使用的有5人,樣本中僅使用A和僅使用B的學生的支付金額分布情況如下:

交付金額(元)

支付方式

0,1000]

1000,2000]

大于2000

僅使用A

18

9

3

僅使用B

10

14

1

(Ⅰ)從全校學生中隨機抽取1人,估計該學生上個月A,B兩種支付方式都使用的概率;

(Ⅱ)從樣本僅使用A和僅使用B的學生中各隨機抽取1人,以X表示這2人中上個月支付金額大于1000元的人數(shù),求X的分布列和數(shù)學期望;

(Ⅲ)已知上個月樣本學生的支付方式在本月沒有變化.現(xiàn)從樣本僅使用A的學生中,隨機抽查3人,發(fā)現(xiàn)他們本月的支付金額都大于2000元.根據(jù)抽查結(jié)果,能否認為樣本僅使用A的學生中本月支付金額大于2000元的人數(shù)有變化?說明理由.

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