【題目】已知函數(shù),().
(1)若曲線在處的切線也是曲線的切線,求的值;
(2)記,設是函數(shù)的兩個極值點,且.
① 若恒成立,求實數(shù)的取值范圍;
② 判斷函數(shù)的零點個數(shù),并說明理由.
【答案】(1);(2)①;②函數(shù)有且僅有1個零點,理由見解析
【解析】
(1)根據(jù)導數(shù)的幾何意義可求得曲線在處的切線方程,再聯(lián)立切線與,利用判別式為0解決相切問題即可.
(2) ①易得,再求導根據(jù)韋達定理可知極值點滿足,再求解化簡,構造出函數(shù),求導分析函數(shù)的單調(diào)性,進而求得的最小值即可.
②根據(jù)①中的單調(diào)性以及極值點可知,且,代入分析可知,再根據(jù)零點存在性定理判定,使得即可知有1個零點.
(1)當時,,又,所以,則曲線在處的切線方程為.
由得,因為也是曲線的切線,所以,
解之得.
(2)①因為,所以,
由得,所以 則.
因為,所以解得.
所以
.
設,則,
所以在上單調(diào)遞減,當時,,
所以,即所求的取值范圍為.
② 由①知當時,,單調(diào)遞增,當時,,單調(diào)遞減,當時,,單調(diào)遞增.
又,且由①知,
所以,
又,所以,,則,
所以當時,,單調(diào)遞減,
所以當時,,則當時,沒有零點.
因為,,,
又在上單調(diào)遞增,且圖像連續(xù)不間斷,所以,使得.
綜上所述,函數(shù)有且僅有1個零點.
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【題目】在直角坐標系中,已知橢圓,若圓的一條切線與橢圓有兩個交點,且.
(1)求圓的方程;
(2)已知橢圓的上頂點為,點在圓上,直線與橢圓相交于另一點,且,求直線的方程.
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【題目】已知橢圓的焦距為,且過點.
(1)求橢圓的方程;
(2)若不經(jīng)過點的直線與交于兩點,且直線與直線的斜率之和為,證明:直線的斜率為定值.
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【題目】已知甲、乙、丙三個組的老年人數(shù)分別為30,30,24.現(xiàn)用分層抽樣的方法從中抽取14人,進行身體狀況調(diào)查.
(1)應從甲、乙、丙三個小組各抽取多少人?
(2)若抽出的14人中,10人身體狀況良好,還有4人有不同程度的狀況要進行治療,現(xiàn)從這14人中,再抽3人進一步了解情況,用表示抽取的3人中,身體狀況良好的人數(shù),求的分布列和數(shù)學期望.
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【題目】已知直線的參數(shù)方程為(t為參數(shù),α∈[0,π).以O為極點,x軸的非負半軸為極軸建立極坐標系,曲線C的極坐標方程為ρ=ρcosθ+2,
(1)若,求直線的極坐標方程
(2)若直線與曲線C有唯一公共點,求α
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