Question

已知函數(shù)

（1）若函數(shù)時(shí)有極值且在函數(shù)圖象上的點(diǎn)（0，1）處的切線與直線的解析式；

（2）當(dāng)取得極大值且加取得極小值時(shí)，設(shè)點(diǎn)M（）所在平面區(qū)域?yàn)镾，經(jīng)過(guò)原點(diǎn)的直線L將S分別面積比為1：3的兩部分求直線L的方程。

Answer 1

解：（1）由

函數(shù)時(shí)有極值，

又處的切線與直線平行，

 

（2）解法一：由取得極大值且在取得極小值，

即

令

故點(diǎn)M所在平面區(qū)域S為如圖△ABC，

易得

同時(shí)DE為△ABC的中位線，

∴所求一條直線L的中位線，x=0

另一種情況設(shè)不垂直于x軸的直線L也將S分為面積經(jīng)為1：3的兩部分，設(shè)直線L方程為，它與AC，BC分別交于F、G，則k>0，S_{四邊形DEGF}=1

由得點(diǎn)F的橫坐標(biāo)為：

由得點(diǎn)G的橫坐標(biāo)為：

即得

解得：（舍去）

故這時(shí)直線方程為，

綜上，所求直線方程為：x=0或

（2）解法二：由取得極大值且在取得極小值，

即

令

故點(diǎn)M所在平面區(qū)域S為如圖△ABC，

易得

同時(shí)DE為△ABC的中位線，

∴所求一條直線L的方程為，x=0

另一種情況由于直線BO方程為：，

設(shè)BO與AC交于H，

由得直線L與AC交點(diǎn)為：

∴所求直線方程為：x=0或。