Question

若定義在R上的函數(shù)f（x）同時(shí)滿足下列三個(gè)條件：
①對(duì)任意實(shí)數(shù)a，b均有f（a+b）=f（a）+f（b）成立；
②f(4)=

1

4

；
③當(dāng)x＞0時(shí)，都有f（x）＞0成立．
（1）求f（0），f（8）的值；
（2）求證：f（x）為R上的增函數(shù)；
（3）求解關(guān)于x的不等式f(x-3)-f(3x-5)≤

1

2

．

Answer 1

分析：（1）a=b=0可求f（0），再令a=b=4可求得f（8）；
（2）利用單調(diào)性的定義，設(shè)x₁＜x₂，結(jié)合已知可證得f（x₂）＞f（x₁），問(wèn)題得證；
（3）可求得f（8）=

1

2

，將原不等式轉(zhuǎn)化為f（x-3）-f（3x-5）=f（2-2x）≤f（8），再利用f（x）為R上的增函數(shù)，即可．

解答：解：（1）令a=b=0得f（0）=0，令a=b=4得f（8）=

1

2

；
（2）證明：設(shè)x₁＜x₂，則x₂-x₁＞0，f（x₂-x₁）＞0；
∴f（x₂）=f（x₁）+f（x₂-x₁）＞f（x₁），
∴f（x₂）＞f（x₁），
∴f（x）為R上的增函數(shù)；
（3）由已知得f（4）+f（4）=

1

4

+

1

4

=

1

2

=f（4+4）=f（8），
∵對(duì)任意實(shí)數(shù)a，b均有f（a+b）=f（a）+f（b）成立，f（0）=0，
∴令a=x，b=-x，則f（-x）+f（x）=f（0）=0，
∴f（-x）=-f（x），
∴f（x-3）-f（3x-5）=f（2-2x），
∵f（x-3）-f（3x-5）≤f（8），
∴f（2-2x）≤f（8），
又f（x）為R上的增函數(shù)，
∴2-2x≤8，解得x≥-3．
故原不等式的解集為：{x|x≥-3}．

點(diǎn)評(píng)：本題考查抽象函數(shù)及其應(yīng)用，著重考查函數(shù)的單調(diào)性的應(yīng)用，突出賦值法與轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用，屬于中檔題．