(本小題滿分12分)

如圖,在長(zhǎng)方體中,分別是棱,上的點(diǎn),,求異面直線所成角的余弦值;證明平面

求二面角的正弦值。

【解析】本小題主要考查異面直線所成的角、直線與平面垂直、二面角等基礎(chǔ)知識(shí),考查用空間向量解決立體幾何問題的方法,考查空間想象能力、運(yùn)算能力和推理論證能力,滿分12分。

方法一:如圖所示,建立空間直角坐標(biāo)系,

點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn),設(shè),依題意得,

,,

解:易得,

于是

  所以異面直線所成角的余弦值為

證明:已知,,

于是·=0,·=0.因此,,,又

所以平面

(3)解:設(shè)平面的法向量,則,即

不妨令X=1,可得。由(2)可知,為平面的一個(gè)法向量。

于是,從而

所以二面角的正弦值為

方法二:(1)解:設(shè)AB=1,可得AD=2,AA1=4,CF=1.CE=

鏈接B1C,BC1,設(shè)B1C與BC1交于點(diǎn)M,易知A1D∥B1C,由,可知EF∥BC1.故是異面直線EF與A1D所成的角,易知BM=CM=,所以 ,所以異面直線FE與A1D所成角的余弦值為

(2)證明:連接AC,設(shè)AC與DE交點(diǎn)N 因?yàn)?sub>,所以,從而,又由于,所以,故AC⊥DE,又因?yàn)镃C1⊥DE且,所以DE⊥平面ACF,從而AF⊥DE.

連接BF,同理可證B1C⊥平面ABF,從而AF⊥B1C,所以AF⊥A1D因?yàn)?sub>,所以AF⊥平面A1ED

(3)解:連接A1N.FN,由(2)可知DE⊥平面ACF,又NF平面ACF, A1N平面ACF,所以DE⊥NF,DE⊥A1N,故為二面角A1-ED-F的平面角

易知,所以,又所以,在

連接A1C1,A1F 在

。所以

所以二面角A1-DE-F正弦值為

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(文) (本小題滿分12分已知函數(shù)y=4-2
3
sinx•cosx-2sin2x(x∈R)
,
(1)求函數(shù)的值域和最小正周期;
(2)求函數(shù)的遞減區(qū)間.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2011•自貢三模)(本小題滿分12分>
設(shè)平面直角坐標(biāo)中,O為原點(diǎn),N為動(dòng)點(diǎn),|
ON
|=6,
ON
=
5
OM
.過點(diǎn)M作MM1丄y軸于M1,過N作NN1⊥x軸于點(diǎn)N1
OT
=
M1M
+
N1N
,記點(diǎn)T的軌跡為曲線C.
(I)求曲線C的方程:
(H)已知直線L與雙曲線C:5x2-y2=36的右支相交于P、Q兩點(diǎn)(其中點(diǎn)P在第-象限).線段OP交軌跡C于A,若
OP
=3
OA
,S△PAQ=-26tan∠PAQ求直線L的方程.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(本小題滿分12分)已知函數(shù),且。①求的最大值及最小值;②求的在定義域上的單調(diào)區(qū)間.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2009湖南卷文)(本小題滿分12分)

為拉動(dòng)經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng),某市決定新建一批重點(diǎn)工程,分別為基礎(chǔ)設(shè)施工程、民生工程和產(chǎn)業(yè)建設(shè)工程三類,這三類工程所含項(xiàng)目的個(gè)數(shù)分別占總數(shù)的、.現(xiàn)有3名工人獨(dú)立地從中任選一個(gè)項(xiàng)目參與建設(shè).求:

(I)他們選擇的項(xiàng)目所屬類別互不相同的概率;    w.w.w.k.s.5.u.c.o.m    

(II)至少有1人選擇的項(xiàng)目屬于民生工程的概率.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(本小題滿分12分)

某民營(yíng)企業(yè)生產(chǎn)A,B兩種產(chǎn)品,根據(jù)市場(chǎng)調(diào)查和預(yù)測(cè),A產(chǎn)品的利潤(rùn)與投資成正比,其關(guān)系如圖1,B產(chǎn)品的利潤(rùn)與投資的算術(shù)平方根成正比,其關(guān)系如圖2,

(注:利潤(rùn)與投資單位是萬元)

(1)分別將A,B兩種產(chǎn)品的利潤(rùn)表示為投資的函數(shù),并寫出它們的函數(shù)關(guān)系式.(2)該企業(yè)已籌集到10萬元資金,并全部投入到A,B兩種產(chǎn)品的生產(chǎn),問:怎樣分配這10萬元投資,才能使企業(yè)獲得最大利潤(rùn),其最大利潤(rùn)為多少萬元.

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案