已知函數(shù)g(x)=mx2-2x+l+ln(x+l)(m≥1).
(1)若曲線C:y=g(x)在點P(0,1)處的切線l與曲線C有且只有一個公共點,求m的值;
(2)求證:函數(shù)g(x)存在單凋減區(qū)間[a,b];
(3)若c=b-a,求c的取值范圍.
【答案】分析:(1)利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線的斜率,進(jìn)而求出切線的方程,由切線l與曲線C有且只有一個公共點,轉(zhuǎn)化為二者的方程聯(lián)立的方程組有且只有一個解0,再利用導(dǎo)數(shù)即可得出;
(2)函數(shù)g(x)存在單凋減區(qū)間[a,b]?g(x)<0,再由m≥1,x>-1,利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可證明;
(3)利用(2)的結(jié)論及一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系及不等式的性質(zhì)即可求出.
解答:解:(1)∵函數(shù)g(x)=mx2-2x+1+ln(x+1)(m≥1),定義域為(-1,+∞).
,∴g(0)=-2+1=-1.
∴切線l的方程為:y-1=-x,即y=-x+1,
∵切線l與曲線C有且只有一個公共點,
mx2-2x+1+ln(x+1)=-x+1有且只有一個解0.
令h(x)=,
則h(x)=mx-1+=,
①當(dāng)m=1時,,h(x)在(-1,+∞)上單調(diào)遞增,滿足有且只有一個解0.
②當(dāng)m>1時,,令h(x)=0,解得x=0或
列表如下:
由表格畫出圖象:當(dāng)x→-1時,h(x)→-∞,,故在區(qū)間內(nèi)還有一個交點,
即方程h(x)=0由兩個實數(shù)根,與已知有且僅有一個解矛盾,應(yīng)舍去.
綜上可知:只有m=1滿足題意.
(2)由=<0(x>-1)?mx2+(m-2)x-1<0.
令f(x)=mx2+(m-2)x-1(x>-1,m≥1).
則△=(m-2)2+4m=m2+4>0,且其對稱軸x==>-1,
f(-1)=1>0,
∴函數(shù)f(x)在(-1,+∞)上必有兩個不等實數(shù)根a=,b=
使得函數(shù)g(x)在區(qū)間[a,b]上單調(diào)遞減.
(3)由(2)可知:a+b=,
∴c=b-a===,
∵m≥1,∴
∴c的取值范圍是
點評:熟練掌握利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)及“三個二次”的關(guān)系是解題的關(guān)鍵.
練習(xí)冊系列答案
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(1)求函數(shù)f(x)的解析式
(2)若y=m與函數(shù)g(x)的圖象有3個公共點,求m的取值范圍.

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(2013•淄博一模)已知函數(shù)g(x)=(2-a)lnx,h(x)=lnx+ax2(a∈R),令f(x)=g(x)+h′(x).
(Ⅰ)當(dāng)a=0時,求f(x)的極值;
(Ⅱ)當(dāng)a<-2時,求f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(Ⅲ)當(dāng)-3<a<-2時,若對?λ1,λ2∈[1,3],使得|f(λ1)-f(λ2)|<(m+ln3)a-2ln3恒成立,求m的取值范圍.

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已知函數(shù)g(x)=2sin(3x-
π
4
)+1,當(dāng)x∈[0,
π
3
]時方程g(x)=m恰有兩個不同的實根x1,x2,則x1+x2=(  )
A、
π
3
B、
π
2
C、π
D、2π

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