(2012•福建模擬)閱讀下面材料:
根據(jù)兩角和與差的正弦公式,有sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ------①
sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ------②
由①+②得sin(α+β)+sin(α-β)=2sinαcosβ------③
令α+β=A,α-β=B有α=
A+B
2
,β=
A-B
2

代入③得 sinA+sinB=2sin
A+B
2
cos
A-B
2

(Ⅰ)類比上述推證方法,根據(jù)兩角和與差的余弦公式,證明:cosA-cosB=-2sin
A+B
2
sin
A-B
2
;
(Ⅱ)若△ABC的三個(gè)內(nèi)角A,B,C滿足cos2A-cos2B=2sin2C,試判斷△ABC的形狀.
(提示:如果需要,也可以直接利用閱讀材料及(Ⅰ)中的結(jié)論)
分析:(Ⅰ)通過(guò)兩角和與差的余弦公式,令α+β=A,α-β=B有α=
A+B
2
,β=
A-B
2
,即可證明結(jié)果.
(Ⅱ)解法一:利用二倍角公式以及正弦定理,即可判斷三角形的形狀.
解法二:利用(Ⅰ)中的結(jié)論和二倍角公式,cos2A-cos2B=2sin2C,以及A+B+C=π,
推出2sinAcosB=0.∠B=
π
2
.得到△ABC為直角三角形
解答:滿分(12分).
解法一:(Ⅰ)因?yàn)閏os(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ,①cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ,②…(2分)
①-②得cos(α+β)-cos(α-β)=-2sinαsinβ.③…(3分)
令α+β=A,α-β=B有α=
A+B
2
,β=
A-B
2
,
代入③得cosA-cosB=-2sin
A+B
2
sin
A-B
2
.…(6分)
(Ⅱ)由二倍角公式,cos2A-cos2B=2sin2C可化為1-2sin2A-1+2sin2B=2sin2C,…(8分)
即sin2A+sin2C=sin2B.…(9分)
設(shè)△ABC的三個(gè)內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,
由正弦定理可得a2+c2=b2.…(11分)
根據(jù)勾股定理的逆定理知△ABC為直角三角形.…(12分)
解法二:(Ⅰ)同解法一.
(Ⅱ)利用(Ⅰ)中的結(jié)論和二倍角公式,cos2A-cos2B=2sin2C可化為-2sin(A+B)sin(A-B)=2sin2C,…(8分)
因?yàn)锳,B,C為△ABC的內(nèi)角,所以A+B+C=π,
所以-sin(A+B)sin(A-B)=sin2(A+B).
又因?yàn)?<A+B<π,所以sin(A+B)≠0,
所以sin(A+B)+sin(A-B)=0.
從而2sinAcosB=0.…(10分)
又因?yàn)閟inA≠0,所以cosB=0,即∠B=
π
2

所以△ABC為直角三角形.…(12分)
點(diǎn)評(píng):本小題主要考查兩角和與差三角函數(shù)公式、二倍角公式、三角函數(shù)的恒等變換等基礎(chǔ)知識(shí),考查推理論證能力,運(yùn)算求解能力,考查化歸與轉(zhuǎn)化思想等.
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