設A，B分別為橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a，b＞0)的左、右頂點，橢圓長半軸的長等于焦距，且x=4為它的右準線．
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）設P為右準線上不同于點（4，0）的任意一點，若直線AP，BP分別與橢圓相交于異于A，B的點M、N，證明點B在以MN為直徑的圓內(nèi)．
（此題不要求在答題卡上畫圖）
（Ⅰ）依題意得a=2c，
a2
c
=4，
解得a=2，c=1，從而b=
3
．
故橢圓的方程為
x2
4
+
y2
3
=1．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得A（-2，0），B（2，0）．
設M（x0，y0）．
∵M點在橢圓上，
∴y02=
3
4
（4-x02）（1）
又點M異于頂點A、B，
∴-2＜x0＜2，由P、A、M三點共線可以得
P（4，
6y0
x0+2
）．
從而
BM
=（x0-2，y0），
BP
=（2，
6y0
x0+2
）．
∴
BM
•
BP
=2x0-4+
6y02
x0+2
=
2
x0+2
（x02-4+3y02）．（2）
將（1）代入（2），化簡得
BM
•
BP
=
5
2
（2-x0）．
∵2-x0＞0，
∴
BM
•
BP
＞0，則∠MBP為銳角，從而∠MBN為鈍角，
故點B在以MN為直徑的圓內(nèi)．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：單選題

雙曲線與橢圓
x2
27
+
y2
36
=1有相同焦點，且經(jīng)過點(
15
，4)，則雙曲線的方程為（　�。�
A．
x2
4
-
y2
5
=1		B．
y2
5
-
x2
4
=1		C．
y2
4
-
x2
5
=1		D．
x2
5
-
y2
4
=1

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：單選題

AB是過拋物線x2=y的焦點一條弦，若AB的中點到x軸的距離為1，則弦AB的長度為（　�。�
A．
5
2
B．
5
4
C．2D．3

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

如圖，點F是橢圓W：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的左焦點，A、B分別是橢圓的右頂點與上頂點，橢圓的離心率為
1
2
，三角形ABF的面積為
3
3
2
，
（Ⅰ）求橢圓W的方程；
（Ⅱ）對于x軸上的點P（t，0），橢圓W上存在點Q，使得PQ⊥AQ，求實數(shù)t的取值范圍；
（Ⅲ）直線l：y=kx+m（k≠0）與橢圓W交于不同的兩點M、N（M、N異于橢圓的左右頂點），若以MN為直徑的圓過橢圓W的右頂點A，求證：直線l過定點，并求出該定點的坐標．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

如圖，已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的離心率為
2
2
，以該橢圓上的點和橢圓的左、右焦點F1，F(xiàn)2為頂點的三角形的周長為4（
2
+1），一等軸雙曲線的頂點是該橢圓的焦點，設P為該雙曲線上異于頂點的任一點，直線PF1和PF2與橢圓的交點分別為A、B和C、D．
（Ⅰ）求橢圓和雙曲線的標準方程；
（Ⅱ）設直線PF1、PF2的斜率分別為k1、k2，證明k1•k2=1；
（Ⅲ）（此小題僅理科做）是否存在常數(shù)λ，使得|AB|+|CD|=λ|AB|•|CD|恒成立？若存在，求λ的值；若不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：填空題

橢圓
x2
16
+
y2
9
=1的左、右焦點分別為F1、F2，過焦點F1的直線交橢圓于A，B兩點，若△ABF2的內(nèi)切圓的面積為π．A，B兩點的坐標分別為（x1，y1）和（x2，y2），則|y2-y1|的值為______．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：單選題

若橢圓
x2
4
+
y2
a2
=1與雙曲線
x2
a
-
y2
2
=1有相同的焦點，則a的值是（　　）
A．1B．-1C．±1D．2

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

如圖，拋物線C1：y2=8x與雙曲線C2：
x2
a2
-
y2
b2
=1(a＞0，b＞0)有公共焦點F2，點A是曲線C1，C2在第一象限的交點，且|AF2|=5．
（Ⅰ）求雙曲線C2的方程；
（Ⅱ）以F1為圓心的圓M與雙曲線的一條漸近線相切，圓N：（x-2）2+y2=1．平面上有點P滿足：存在過點P的無窮多對互相垂直的直線l1，l2，它們分別與圓M，N相交，且直線l1被圓M截得的弦長與直線l2被圓N截得的弦長的比為
3
：1，試求所有滿足條件的點P的坐標．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

已知離心率為
6
3
的橢圓E：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)與圓C：x2+（y-3）2=4交于A，B兩點，且∠ACB=120°，C在AB上方，如圖所示，
（1）求橢圓E的方程；
（2）是否存在過交點B，斜率存在且不為0的直線l，使得該直線截圓C和橢圓E所得的弦長相等？若存在，求出直線l的方程；若不存在，說明理由．

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