Question

【題目】已知函數(shù)．

（Ⅰ）當時，證明：；

（Ⅱ）當時，恒成立，求正實數(shù)的值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）見解析；（Ⅱ）1．

【解析】

試題分析：（Ⅰ）令，然后求其導函數(shù)，再根據(jù)導函數(shù)的結(jié)構(gòu)特點構(gòu)造新函數(shù)，從而通過求導研究新函數(shù)的單調(diào)性，進而使問題得證；（Ⅱ）首先將問題轉(zhuǎn)化為對于任意恒成立，從而令，然后求出其導函數(shù)，再根據(jù)導函數(shù)的結(jié)構(gòu)特點構(gòu)造新函數(shù)，通過求導研究新函數(shù)的單調(diào)性，進而得到的單調(diào)性，由此可求得的值．

試題解析：（Ⅰ）令，則

令則

時，，函數(shù)單調(diào)遞減；

當時，，函數(shù)單調(diào)遞增；

所以單調(diào)遞增，

則即原命題成立．

（Ⅱ）當時，不等式恒成立，

等價于，對于任意恒成立，

令，則．

令，

則．

由（Ⅰ）得，則在上單調(diào)遞減．

（1）當時，，且

在上，單調(diào)遞增，在上，單調(diào)遞減，所以的最大值為，即恒成立．

（2）當時，，

時，由，解得．

即時，，單調(diào)遞減，又，所以此時，

與恒成立矛盾．

（3）當時，，

時，由，解得．

即時，，單調(diào)遞增，又，所以此時，

與恒成立矛盾．

綜上，的值為1．