Question

【題目】已知是定義在上的函數，記，的最大值為.若存在，滿足，，，則稱一次函數是的“逼近函數”此時的稱為在上的“逼近確界”.

（1）驗證是，的“逼近函數”；

（2）已知，，.若是的“逼近函數”，求a，b的值；

（3）已知，，求證；對任意常數a，b，.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）a．b；（3）見解析．

【解析】

（1）記G（x）＝2x2﹣（4x﹣1）＝2（x﹣1）2﹣1，x∈[0，2]．利用二次函數的單調性可得|G（x）|的最大值為1，且G（0）＝1，G（1）＝﹣1，G（2）＝1．

（2）F（x）（ax+b），由，可得M（a，b）＝b，a．存在x0∈（0，4）滿足F（x2）＝M（a，b），即F（a，b）max＝F（x2）＝b，即可得出．

（3）M（a，b）|t﹣at2﹣b|．即可得出．

（1）記G（x）＝2x2﹣（4x﹣1）＝2（x﹣1）2﹣1，x∈[0，2]．則|G（x）|的最大值為1，

且G（0）＝1，G（1）＝﹣1，G（2）＝1．故y＝4x﹣1是g（x）＝2x2，x∈[0，2]的“逼近函數”．

（2）F（x）（ax+b），由，可得M（a，b）＝b，a．

存在x0∈（0，4）滿足F（x2）＝M（a，b），即F（a，b）max＝F（x2）＝b，

即F（x）x﹣bb，故x2＝1．

由F（1）b＝b，可得b．

（3）證明：M（a，b）|t﹣at2﹣b

|．

當[0，2]時，2M（a，b）≥|b|+|2﹣4a﹣b|≥|2﹣4a|＞1，故M（a，b）．