Question

【題目】橢圓 的兩個焦點為，點P在橢圓C 上，且　, ，.

（1）求橢圓C的方程；

（2）若直線L過點交橢圓于A、B兩點，且點M為線段AB的中點，求直線L的一般方程.

Answer 1

【答案】（1）（2）8x﹣9y+25=0

【解析】

(1)根據(jù)橢圓定義，可求出a的值，在在中，，可得橢圓的半焦距，從而可求出橢圓方程；

(2)設(shè)A，B的坐標分別為（x1，y1）、（x2，y2），當斜率存在時，設(shè)直線L的方程為，代入橢圓方程，利用A,B關(guān)于點M對稱，結(jié)合韋達定理，即可得出結(jié)果；當斜率不存在時，可直接得出結(jié)果.

解：（1）因為點P在橢圓C上，所以，．

在中，，故橢圓的半焦距

從而，

所以橢圓C的方程為。

（2）（i）.當直線L的斜率不存在時，不是線段AB的中點（舍）

（ii）．當直線L的斜率存在時，設(shè)為。則直線L的方程為，

代入橢圓C的方程得（4+9k2）x2+（36k2+18k）x+36k2+36k﹣27=0．

因為M（-2,1）在橢圓內(nèi)，所以

設(shè)A，B的坐標分別為（x1，y1）、（x2，y2）．則

因為點為線段AB的中點．所以

解得，

所以直線L的方程為，即．