如圖,已知矩形ABCD的一邊AB在x軸上,另兩個頂點C,D落在拋物線弧y=-x2+2x(0<x<2)上.設(shè)點C的橫坐標(biāo)為x.
(1)將矩形ABCD的面積S(x)表示為x的函數(shù);
(2)求S(x)取最大值時對應(yīng)的x值.
分析:(1)確定點C的縱坐標(biāo),CD的長,即可得到矩形ABCD的面積S(x)的函數(shù);
(2)求導(dǎo)數(shù),確定函數(shù)的單調(diào)性,即可求得結(jié)論.
解答:解:(1)∵點C的橫坐標(biāo)為x,
∴點C的縱坐標(biāo)為-x2+2x,CD=2x-2
∴S(x)=(2x-2)•(-x2+2x)(0<x<2)
(2)由(1)知,S(x)=(2x-2)•(-x2+2x)=-2x3+6x2-4x,
∴S′(x)=-6x2+12x-4=-6(x-
3-
3
3
)(x+
3+
3
3

∴在(0,
3-
3
3
),(
3+
3
3
,2)上S′(x)<0,函數(shù)單調(diào)遞減,在(
3-
3
3
,
3+
3
3
)上S′(x)>0
∴x=
3+
3
3
時,S(x)取最大值.
點評:本題考查函數(shù)解析式的確定,考查導(dǎo)數(shù)知識的運(yùn)用,考查函數(shù)的單調(diào)性,屬于中檔題.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源:名師指點學(xué)高中課程 數(shù)學(xué) 高二(下) 題型:044

如圖,已知在矩形ABCD中,AB=3,BC=4,沿對角線AC將△ABC折起,使B點在平面ADC內(nèi)的射影恰好落在AD上,求:

(1)異面直線AB與CD成的角;

(2)異面直線AB與CD的距離;

(3)二面角B-AC-D的大。

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2014屆安徽省高一下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:解答題

如圖,已知矩形ABCD所在平面外一點P,PA⊥平面ABCD,E、F分別是AB、

PC的中點.

(1)求證:EF∥平面PAD;

(2)求證:EF⊥CD;

(3)若ÐPDA=45°求EF與平面ABCD所成的角的大小.

【解析】本試題主要考查了線面平行和線線垂直的運(yùn)用,以及線面角的求解的綜合運(yùn)用

第一問中,利用連AC,設(shè)AC中點為O,連OF、OE在△PAC中,∵ F、O分別為PC、AC的中點   ∴ FO∥PA …………①在△ABC中,∵ E、O分別為AB、AC的中點 ∴ EO∥BC ,又         ∵ BC∥AD   ∴ EO∥AD …………②綜合①、②可知:平面EFO∥平面PAD∵ EF Ì 平面EFO   ∴ EF∥平面PAD.

第二問中在矩形ABCD中,∵ EO∥BC,BC⊥CD ∴ EO⊥CD  又    ∵ FO∥PA,PA⊥平面AC  ∴ FO⊥平面AC∴ EO為EF在平面AC內(nèi)的射影       ∴ CD⊥EF.

第三問中,若ÐPDA=45°,則 PA=AD=BC    ∵ EOBC,F(xiàn)OPA

∴ FO=EO 又∵ FO⊥平面AC∴ △FOE是直角三角形 ∴ ÐFEO=45°

證:連AC,設(shè)AC中點為O,連OF、OE(1)在△PAC中,∵ F、O分別為PC、AC的中點∴ FO∥PA …………①    在△ABC中,∵ E、O分別為AB、AC的中點  ∴ EO∥BC ,又         ∵ BC∥AD   ∴ EO∥AD …………②綜合①、②可知:平面EFO∥平面PAD    

∵ EF Ì 平面EFO      ∴ EF∥平面PAD.

(2)在矩形ABCD中,∵ EO∥BC,BC⊥CD∴ EO⊥CD  又        ∵ FO∥PA,PA⊥平面AC  ∴ FO⊥平面AC ∴ EO為EF在平面AC內(nèi)的射影     ∴ CD⊥EF.

(3)若ÐPDA=45°,則 PA=AD=BC         ∵ EOBC,F(xiàn)OPA

∴ FO=EO 又    ∵ FO⊥平面AC   ∴ △FOE是直角三角形 ∴ ÐFEO=45°

 

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2010-2011學(xué)年江蘇省南京市高三第二次模擬考試數(shù)學(xué)卷 題型:解答題

在A、B、C、D四小題中只能選做2題,每小題10,共計20分。請在答題卡指定區(qū)域作答。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

A、選修4-1:幾何證明選講

   如圖,已知梯形ABCD為圓內(nèi)接四邊形,AD//BC,過C作該圓的切線,交AD的延長線于E,求證:ΔABC∽ΔEDC。

B、選修4-2:矩形與變換

已知 為矩陣屬于λ的一個特征向量,求實數(shù)a,λ的值及A2。

C、選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程

   在平面直角坐標(biāo)系xoy中,曲線C的參數(shù)方程為(α為參數(shù)),曲線D的參數(shù)方程為,(t為參數(shù))。若曲線C、D有公共點,求實數(shù)m的取值范圍。

D、選修4-5:不等式選講

   已知a,b都是正實數(shù),且ab=2。求證:(1+2a)(1+b)≥9。

 

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,已知幾何體ABC-DEF中,△ABC及△DEF都是邊長為2的等邊三角形,四邊形ABEF為矩形,且CD=AF+2,CD//AF,O為AB中點.

(1)求證:AB⊥平面DCO

(2)若M為CD中點,AF=x,則當(dāng)x取何值時,使AM與平面ABEF所成角為45°?

試求相應(yīng)的x值的.

(3)求該幾何體在(2)的條件下的體積.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2011屆江蘇省南京市高三第二次模擬考試數(shù)學(xué)卷 題型:解答題

在A、B、C、D四小題中只能選做2題,每小題10,共計20分。請在答題卡指定區(qū)域作答。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。
A、選修4-1:幾何證明選講
如圖,已知梯形ABCD為圓內(nèi)接四邊形,AD//BC,過C作該圓的切線,交AD的延長線于E,求證:ΔABC∽ΔEDC。

B、選修4-2:矩形與變換
已知為矩陣屬于λ的一個特征向量,求實數(shù)a,λ的值及A2。
C、選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程
在平面直角坐標(biāo)系xoy中,曲線C的參數(shù)方程為(α為參數(shù)),曲線D的參數(shù)方程為,(t為參數(shù))。若曲線C、D有公共點,求實數(shù)m的取值范圍。
D、選修4-5:不等式選講
已知a,b都是正實數(shù),且ab=2。求證:(1+2a)(1+b)≥9。

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