Question

【題目】正項數(shù)列的前項和為，，且，（為常數(shù)）.

（1）求證：數(shù)列為等比數(shù)列；

（2）若，且，對任意，都有，求的值；

（3）若，是否存在正整數(shù)，且，使得，，三項成等比數(shù)列？

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）；（3）不存在，說明見解析.

【解析】

（1）利用，及作差可證;

（2）對進行討論，結(jié)合等比數(shù)列求和公式可得；

（3）先假設(shè)存在，得出，結(jié)合二次函數(shù)知識證明，從而得出結(jié)論.

（1）因為，所以當時，，

兩式相減可得，即；

因為，，所以，所以數(shù)列是以為首項，2為公比的等比數(shù)列.

（2）因為，，當時，

當時，

所以.

（3）當時，由（1）可得，假設(shè)，，三項成等比數(shù)列，

則，，

設(shè)，所以，

所以，

記是開口向上的二次函數(shù)，對稱軸為

且，

所以

綜上不存在正整數(shù)，且，使得，，三項成等比數(shù)列.