已知a為給定的正實數(shù),m為實數(shù),函數(shù)f(x)=ax3-3(m+a)x2+12mx+1.
(Ⅰ)若f(x)在(0,3)上無極值點,求m的值;
(Ⅱ)若存在x0∈(0,3),使得f(x0)是f(x)在[0,3]上的最值,求m的取值范圍.

(Ⅰ)a;(Ⅱ)m≤或m≥

解析試題分析:(Ⅰ) 求原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù),則導(dǎo)函數(shù)恒大于等于0,即可得所求;(Ⅱ)由(Ⅰ)知導(dǎo)函數(shù)時等于0,則為函數(shù)的極值,要使有最值,再看導(dǎo)函數(shù)為0時的另外一個根的范圍,然后分情況討論:①時,顯然為最值;②時,先求(0,3)上的極值,然后再與端點函數(shù)值比較滿足題意求m;③時,先求(0,3)上的極值,然后再與端點函數(shù)值比較滿足題意求m,綜合①②③可得m的取值范圍.
試題解析:(Ⅰ)由題意得f′(x)=3ax2-6(m+a)x+12m=3(x-2)(ax-2m),
由于f(x)在(0,3)上無極值點,故=2,所以m=a.                         5分
(Ⅱ)由于f′(x)=3(x-2)(ax-2m),故
(i)當(dāng)≤0或≥3,即m≤0或m≥a時,
取x0=2即滿足題意.此時m≤0或m≥a.
(ii)當(dāng)0<<2,即0<m<a時,列表如下:

x
0
(0,)

(,2)
2
(2,3)
3
f′(x)
 

0

0

 
f(x)
1
單調(diào)遞增
極大值
單調(diào)遞減
極小值
單調(diào)遞增
9m+1
故f(2)≤f(0)或f()≥f(3),
即-4a+12m+1≤1或+1≥9m+1,
即3m≤a或

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

已知函數(shù),其中為常數(shù).
(Ⅰ)若函數(shù)是區(qū)間上的增函數(shù),求實數(shù)的取值范圍;
(Ⅱ)若時恒成立,求實數(shù)的取值范圍.

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已知
(1)曲線y=f(x)在x=0處的切線恰與直線垂直,求的值;
(2)若x∈[a,2a]求f(x)的最大值;
(3)若f(x1)=f(x2)=0(x1<x2),求證:

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已知函數(shù).
(1)若在區(qū)間單調(diào)遞增,求的最小值;
(2)若,對,使成立,求的范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

某建筑公司要在一塊寬大的矩形地面(如圖所示)上進行開發(fā)建設(shè),陰影部分為一公共設(shè)施不能建設(shè)開發(fā),且要求用欄柵隔開(欄柵要求在直線上),公共設(shè)施邊界為曲線的一部分,欄柵與矩形區(qū)域的邊界交于點M、N,切曲線于點P,設(shè)

(I)將(O為坐標(biāo)原點)的面積S表示成f的函數(shù)S(t);
(II)若,S(t)取得最小值,求此時a的值及S(t)的最小值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

設(shè)數(shù)列的前項和為,已知(n∈N*).
(Ⅰ)求數(shù)列的通項公式;
(Ⅱ)求證:當(dāng)x>0時,
(Ⅲ)令,數(shù)列的前項和為.利用(2)的結(jié)論證明:當(dāng)n∈N*且n≥2時,.

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設(shè)函數(shù)),其中
(Ⅰ)當(dāng)時,求曲線在點處的切線方程;
(Ⅱ)當(dāng)時,求函數(shù)的極大值和極小值.

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已知函數(shù)(其中是實數(shù)).
(Ⅰ)求的單調(diào)區(qū)間;
(Ⅱ)若,且有兩個極值點,求的取值范圍.
(其中是自然對數(shù)的底數(shù))

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

已知函數(shù).
(Ⅰ)當(dāng)時,恒成立,求實數(shù)的取值范圍;
(Ⅱ)若對一切,恒成立,求實數(shù)的取值范圍.

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