Question

設等差數列{a_n}的前n項和為S_n，且Sn=

1

2

nan+an-c（c是常數，n∈N*），a₂=6．
（Ⅰ）求c的值及數列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）證明：

1

a1a2

+

1

a2a3

+…+

1

anan+1

＜

1

8

．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據Sn=

1

2

nan+an-c，令n=1代入求出a₁，令n=2代入求出a₂，由a₂=6即可求出c的值，由c的值即可求出首項和公差，根據首項和公差寫出等差數列的通項公式即可；
（Ⅱ）利用數列的通項公式列舉出各項并代入所證不等式的坐標，利用

1

(2n+2)(2n+4)

=

1

2

（

1

2n+2

-

1

2n+4

），把各項拆項后抵消化簡后即可得證．

解答：解：（Ⅰ）解：因為Sn=

1

2

nan+an-c，
所以當n=1時，S1=

1

2

a1+a1-c，解得a₁=2c，
當n=2時，S₂=a₂+a₂-c，即a₁+a₂=2a₂-c，解得a₂=3c，
所以3c=6，解得c=2，
則a₁=4，數列{a_n}的公差d=a₂-a₁=2，
所以a_n=a₁+（n-1）d=2n+2；
（Ⅱ）因為

1

a1a2

+

1

a2a3

+…+

1

anan+1

=

1

4×6

+

1

6×8

+…+

1

(2n+2)(2n+4)

=

1

2

(

1

4

-

1

6

)+

1

2

(

1

6

-

1

8

)+…+

1

2

(

1

2n+2

-

1

2n+4

)
=

1

2

[(

1

4

-

1

6

)+(

1

6

-

1

8

)+…+(

1

2n+2

-

1

2n+4

)]
=

1

2

(

1

4

-

1

2n+4

)
=

1

8

-

1

4(n+2)

．
因為n∈N*，所以

1

a1a2

+

1

a2a3

+…+

1

anan+1

＜

1

8

．

點評：此題考查學生靈活運用等差數列的通項公式及前n項和的公式化簡求值，會利用拆項法進行數列的求和，是一道綜合題．