Question

（14分）已知函數(shù)在處取得極值。
（1）求實數(shù)的值；（2）若關(guān)于的方程在上恰有兩個不相等的實數(shù)根，求實數(shù)的取值范圍；（3）證明：。參考數(shù)據(jù)：。

Answer 1

(Ⅰ)   (Ⅱ)   （Ⅲ）略

解：（1）又由已知得
（2）由（1）得令
則
當(dāng)變化時情況如下

				1		2
	+	0	—	0	+
		極大值		極小值

方程在上恰有兩個不相等的實數(shù)根

（Ⅲ）法（一）轉(zhuǎn)化為數(shù)列通項問題，構(gòu)造函數(shù)
設(shè)
當(dāng)時有（可以是分析過程）
設(shè)則恒成立
即在上是增函數(shù)


法（二）數(shù)學(xué)歸納法：
（1）當(dāng)n=2時(2)假設(shè)n=k(k>1)時命題成立，
則n=k+1時只要證明即可
即證：
即證
設(shè)則
即在上是增函數(shù)
即n=k+1時命題成立
由（1）（2）可知對任意命題成立。
導(dǎo)數(shù)與數(shù)列不等式的綜合運用：通常有兩個途徑：（1）構(gòu)造函數(shù)、研究其單調(diào)性、極值，將目標(biāo)轉(zhuǎn)化成兩個數(shù)列的和，比較通項完成（2）數(shù)學(xué)歸納法。
自我總結(jié)：