【題目】已知橢圓的離心率為，短軸長(zhǎng)為.

(1)求橢圓的方程；

(2)設(shè)， 是橢圓上關(guān)于軸對(duì)稱的任意兩個(gè)不同的點(diǎn)，連接交橢圓于另一點(diǎn)，證明直線與軸相交于定點(diǎn)；

(3)在(2)的條件下，過點(diǎn)的直線與橢圓交于， 兩點(diǎn)，求的取值范圍.

【答案】(1) .(2) 見解析.(3) .

【解析】試題分析：⑴利用橢圓的定義和性質(zhì)求出， ，即可求出橢圓的方程；⑵由題意知直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為，由得，再由根與系數(shù)的關(guān)系證明直線與軸相交于定點(diǎn)；⑶分的斜率存在與不存在兩種情況討論，與橢圓方程聯(lián)立得出點(diǎn)的坐標(biāo)之間的關(guān)系，再表示出，進(jìn)而可求出其取值范圍；

解析：(1)由題意知，

又∵，∴，∴，

解，得，故橢圓的方程為.

(2)由題意知直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為，

由得.①

設(shè)點(diǎn)， ，則，

直線的方程為，

令，得，將， 代入，

整理，得.②

由①得， 代入②整理，得.

∴直線與軸相交于定點(diǎn).

(3)當(dāng)過點(diǎn)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，

且， 在橢圓上，

由得，易知，

∴， ， ，

則，

∵，∴，

∴，

當(dāng)過點(diǎn)直線的斜率不存在時(shí)，其方程為，

解得， 或， .

此時(shí)，∴的取值范圍是.

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【題目】（10分）四面體ABCD及其三視圖如圖所示，平行于棱AD，BC的平面分別交四面體的棱AB，BD，DC，CA于點(diǎn)E，F，G，H．

（1）求四面體ABCD的體積；

（2）證明：四邊形EFGH是矩形．

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【題目】“活水圍網(wǎng)”養(yǎng)魚技術(shù)具有養(yǎng)殖密度高、經(jīng)濟(jì)效益好的特點(diǎn)．研究表明：“活水圍網(wǎng)”養(yǎng)魚時(shí)，某種魚在一定的條件下，每尾魚的平均生長(zhǎng)速度（單位：千克/年）是養(yǎng)殖密度（單位：尾/立方米）的函數(shù)．當(dāng)不超過尾/立方米時(shí)， 的值為千克/年；當(dāng)時(shí)， 是的一次函數(shù)，且當(dāng)時(shí)， ．

（）當(dāng)時(shí)，求關(guān)于的函數(shù)的表達(dá)式．

（）當(dāng)養(yǎng)殖密度為多大時(shí)，每立方米的魚的年生長(zhǎng)量（單位：千克/立方米）可以達(dá)到最大？并求出最大值．

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【題目】已知點(diǎn)列An（an ， bn）（n∈N*）均為函數(shù)y=ax（a＞0，a≠1）的圖象上，點(diǎn)列Bn（n，0）滿足|AnBn|=|AnBn+1|，若數(shù)列{bn}中任意連續(xù)三項(xiàng)能構(gòu)成三角形的三邊，則a的取值范圍為（ ）
A.（0， ）∪（ ，+∞）
B.（ ，1）∪（1， ）
C.（0， ）∪（ ，+∞）
D.（ ，1）∪（1， ）

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【題目】如圖，橢圓C： + =1（a＞b＞0）的離心率是 ，且過點(diǎn)（ ， ）．設(shè)點(diǎn)A1 ， B1分別是橢圓的右頂點(diǎn)和上頂點(diǎn)，如圖所示過 點(diǎn)A1 ， B1引橢圓C的兩條弦A1E、B1F．

（1）求橢圓C的方程；
（2）若直線A1E與B1F的斜率是互為相反數(shù)．
①求直線EF的斜率k0②設(shè)直線EF的方程為y=k0x+b（﹣1≤b≤1）設(shè)△A1EF、△B1EF的面積分別為S1和S2 ， 求S1+S2的取值范圍．

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【題目】已知全集U={1，2，3，4，5，6，7}，集合A={1，3，7}，B={x|x=log2（a+1），a∈A}，則A∩B=（ ）
A.{1，3}
B.{5，6}
C.{4，5，6}
D.{4，5，6，7}

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【題目】已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn ， Sn=n2+2n，bn=anan+1cos（n+1）π，數(shù)列{bn} 的前n項(xiàng)和為Tn ， 若Tn≥tn2對(duì)n∈N*恒成立，則實(shí)數(shù)t的取值范圍是 ．

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【題目】以平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)為極點(diǎn)， 軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，已知圓的極坐標(biāo)方程為，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），若與交于兩點(diǎn).

（Ⅰ）求圓的直角坐標(biāo)方程；

（Ⅱ）設(shè)，求的值.

【答案】（1）；（2）1.

【解析】試題分析：（1）先根據(jù) 將圓的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程；（2）先將直線參數(shù)方程調(diào)整化簡(jiǎn)，再將直線參數(shù)方程代入圓直角坐標(biāo)方程，根據(jù)參數(shù)幾何意義得，最后利用韋達(dá)定理求解

試題解析：（Ⅰ）由，得，

（Ⅱ）把，

代入上式得，

∴，則， ，

.

【題型】解答題
【結(jié)束】
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【題目】證明：（Ⅰ）已知是正實(shí)數(shù)，且.求證： ；

（Ⅱ）已知，且， ， .求證： 中至少有一個(gè)是負(fù)數(shù).

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【題目】已知點(diǎn)是圓：上任意一點(diǎn)，點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，線段的垂直平分線與交于點(diǎn).

（1）求點(diǎn)的軌跡的方程；

（2）過點(diǎn)的動(dòng)直線與點(diǎn)的軌跡交于兩點(diǎn)，在軸上是否存在定點(diǎn)使以為直徑的圓恒過這個(gè)點(diǎn)？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.

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