Question

（2007•廣州二模）已知曲線C：y=e^x（其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）在點(diǎn)P（1，e）處的切線與x軸交于點(diǎn)Q₁，過(guò)點(diǎn)Q₁作x軸的垂線交曲線C于點(diǎn)P₁，曲線C在點(diǎn)P₁處的切線與x軸交于點(diǎn)Q₂，過(guò)點(diǎn)Q₂作x軸的垂線交曲線C于點(diǎn)P₂，…，依次下去得到一系列點(diǎn)P₁、P₂…、P_n，設(shè)點(diǎn)P_n的坐標(biāo)為（x_n，y_n）（n∈N^*）．
（Ⅰ）分別求x_n與y_n的表達(dá)式；
（Ⅱ）設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，求

n

i=1

O

P

2 i

．

Answer 1

分析：（I）利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，求曲線C：y=e^x在點(diǎn)P（1，e）處的切線方程，依題意即可得P₁的坐標(biāo)為（0，1），同樣可求曲線C：y=e^x在點(diǎn)P_n（x_n，y_n）處的切線方程，從而得點(diǎn)Q_n+1的橫坐標(biāo)為x_n+1=x_n-1．?dāng)?shù)列{x_n}是以0為首項(xiàng)，-1為公差的等差數(shù)列，利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得x_n的表達(dá)式，進(jìn)而得y_n的表達(dá)式；（II）先求出{|OP_n|²}的通項(xiàng)公式，再利用拆項(xiàng)求和和等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式求和即可

解答：解：（Ⅰ）∵y′=e^x，
∴曲線C：y=e^x在點(diǎn)P（1，e）處的切線方程為y-e=e（x-1），即y=ex．
此切線與x軸的交點(diǎn)Q₁的坐標(biāo)為（0，0），
∴點(diǎn)P₁的坐標(biāo)為（0，1）．    
∵點(diǎn)P_n的坐標(biāo)為（x_n，y_n）（n∈N^*）．
∴曲線C：y=e^x在點(diǎn)P_n（x_n，y_n）處的切線方程為y-exn=exn（x-x_n）
令y=0，得點(diǎn)Q_n+1的橫坐標(biāo)為x_n+1=x_n-1．
∴數(shù)列{x_n}是以0為首項(xiàng)，-1為公差的等差數(shù)列．
∴x_n=1-n，y_n=e^1-n（n∈N^*）．                  
（Ⅱ）∵|OP_i|²=xi2+yi2=（i-1）²+e^2（1-i）
∴

n

i=1

O

P

2 i

=|OP₁|²+|OP₂|²+|OP₃|²+…+|OP_n|²
=（0²+e⁰）+（1²+e^-2）+=（2²+e^-4）+…+（n-1）²+e^2（1-n）
=[1²+2²+…+（n-1）²]+[1+e^-2+e^-4+…+e^2（1-n）]
=

n(n-1)(2n-1)

6

+

1-e-2n

1-e-2

=

n(n-1)(2n-1)

6

+

e2n-1

e2n-2(e2-1)

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查數(shù)列、導(dǎo)數(shù)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查有限與無(wú)限的數(shù)學(xué)思想與方法，以及抽象概括能力、運(yùn)算求解能力和創(chuàng)新意識(shí)，本題解答中用到了高中數(shù)學(xué)不常用的結(jié)論1²+2²+…+（n-1）²=

n(n-1)(2n-1)

6

，此公式?jīng)]有必要記憶，高考時(shí)基本不涉及