已知拋物線的焦點為雙曲線的一個焦點,且兩條曲線都經(jīng)過點.
(1)求這兩條曲線的標準方程;
(2)已知點在拋物線上,且它與雙曲線的左,右焦點構(gòu)成的三角形的面積為4,求點 的坐標.
(1),;(2)或.
解析試題分析:(1)可以先利用待定系數(shù)法可以先求拋物線方程,然后利用定義法或待定系數(shù)法求出雙曲線方程;
(2)先利用三角形的面積是4,求出點p的縱坐標是,再利用點P在拋物線上,求出橫坐標即可.
試題解析:(1)∵拋物線經(jīng)過點,
∴,解得,
∴拋物線的標準方程為. 3分
∴拋物線的焦點為,∴雙曲線的焦點為.
法一:∴,,
∴,. 5分
∴.
∴雙曲線的標準方程為. 8分
法二:,∵雙曲線經(jīng)過點,∴, 5分
解得 ,.
∴雙曲線的標準方程為. 8分
(2)設(shè)點的坐標為,由題意得,
,∴, 11分
∵點在拋物線上,∴,∴點的坐標為或. 14分
考點:(1)雙曲線的標準方程;(2)拋物線的標準方程.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
如圖,F(xiàn)是橢圓的右焦點,以點F為圓心的圓過原點O和橢圓的右頂點,設(shè)P是橢圓上的動點,P到橢圓兩焦點的距離之和等于4.
(1)求橢圓和圓的標準方程;
(2)設(shè)直線l的方程為x=4,PM⊥l,垂足為M,是否存在點P,使得△FPM為等腰三角形?若存在,求出點P的坐標;若不存在,請說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
如圖,橢圓=1(a>b>0)的上,下兩個頂點為A,B,直線l:y=-2,點P是橢圓上異于點A,B的任意一點,連接AP并延長交直線l于點N,連接PB并延長交直線l于點M,設(shè)AP所在的直線的斜率為k1,BP所在的直線的斜率為k2.若橢圓的離心率為,且過點A(0,1).
(1)求k1·k2的值;
(2)求MN的最小值;
(3)隨著點P的變化,以MN為直徑的圓是否恒過定點?若過定點,求出該定點;如不過定點,請說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知橢圓C的中心為平面直角坐標系xOy的原點,焦點在x軸上,它的一個頂點到兩個焦點的距離分別是7和1.
(1)求橢圓C的方程;
(2)若P為橢圓C上的動點,M為過P且垂直于x軸的直線上的一點,=λ,求點M的軌跡方程,并說明軌跡是什么曲線.
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已知橢圓C:的離心率為,左、右焦點分別為,點G在橢圓C上,且,的面積為3.
(1)求橢圓C的方程:
(2)設(shè)橢圓的左、右頂點為A,B,過的直線與橢圓交于不同的兩點M,N(不同于點A,B),探索直線AM,BN的交點能否在一條垂直于軸的定直線上,若能,求出這條定直線的方程;若不能,請說明理由.
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已知點、為雙曲線:的左、右焦點,過作垂直于軸的直線,在軸上方交雙曲線于點,且.圓的方程是.
(1)求雙曲線的方程;
(2)過雙曲線上任意一點作該雙曲線兩條漸近線的垂線,垂足分別為、,求的值;
(3)過圓上任意一點作圓的切線交雙曲線于、兩點,中點為,求證:.
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已知直線過點且與拋物線交于A、B兩點,以弦AB為直徑的圓恒過坐標原點O.
(1)求拋物線的標準方程;
(2)設(shè)是直線上任意一點,求證:直線QA、QM、QB的斜率依次成等差數(shù)列.
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已知平面五邊形關(guān)于直線對稱(如圖(1)),,,將此圖形沿折疊成直二面角,連接、得到幾何體(如圖(2))
(1)證明:平面;
(2)求平面與平面的所成角的正切值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
如圖,已知橢圓: 的離心率為 ,點 為其下焦點,點為坐標原點,過 的直線 :(其中)與橢圓 相交于兩點,且滿足:.
(1)試用 表示 ;
(2)求 的最大值;
(3)若 ,求 的取值范圍.
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