Question

在Rt△ABC中，AC=2，BC=2，已知點(diǎn)P是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，則

PC

•(

PA

+

PB

)的最小值是（　�。�

A．-2

B．-1

C．0

D．1

Answer 1

分析：分別以CB，CA所在的直線為x，y軸建立直角坐標(biāo)系，然后利用向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示求解

PC

•(

PA

+

PB

)，根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式即可求解

解答：解：分別以CB，CA所在的直線為x，y軸建立直角坐標(biāo)系
∵AC=BC=2
∴A（0，2），C（0，0），B（2，0）
設(shè)P（x，y），則

PA

=(-x，2-y)，

PB

=(2-x，-y)），

PC

=(-x，-y)
∴

PA

+

PB

=(2-2x，2-2y)
∴

PC

•(

PA

+

PB

)=-x（2-2x）-y（2-2y）
=-2x+2x²-2y+2y²
=2(x-

1

2

)2+2(y-

1

2

)2-1
即(x-

1

2

)2+(y-

1

2

)2為△ABC內(nèi)一點(diǎn)到點(diǎn)（

1

2

，

1

2

）距離平方，當(dāng)其最小時(shí)向量

PC

•(

PA

+

PB

)最小，
因?yàn)辄c(diǎn)（

1

2

，

1

2

）也在△ABC內(nèi)，
所以(x-

1

2

)2+(y-

1

2

)2最小為0，所以向量

PC

•(

PA

+

PB

)的最小值為-1
故選B

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是根據(jù)所求式子 幾何意義．