Question

已知點(diǎn)F是橢圓

x2

1+a2

+y2=1(a＞0)右焦點(diǎn)，點(diǎn)M（m，0）、N（0，n）分別是x軸、y軸上的動(dòng)點(diǎn)，且滿足

MN

•

NF

=0，若點(diǎn)P滿足

OM

=2

ON

+

PO

．
（1）求P點(diǎn)的軌跡C的方程；
（2）設(shè)過(guò)點(diǎn)F任作一直線與點(diǎn)P的軌跡C交于A、B兩點(diǎn)，直線OA、OB與直線x=-a分別交于點(diǎn)S、T（其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)），試判斷

FS

•

FT

是否為定值？若是，求出這個(gè)定值；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）設(shè)點(diǎn)P（x，y），由題意可知，點(diǎn)F的坐標(biāo)為（a，0），

MN

•

NF

=-am-n2=0，由

OM

=2

ON

+

PO

得

x=-m y=2n

，消去n與m可得y²=4ax．
（2）設(shè)過(guò)F點(diǎn)的直線l方程為：y=k（x-a），與軌跡C交于A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）兩點(diǎn)，得：k²x²-（2ka+4a）x+k²a²=0，則x₁x₂=a²，y₁y₂=-4a²．得直線OA的方程為：y=

y1

x1

x，所以點(diǎn)S為(-a，-

y1

x1

a)；同理得點(diǎn)T為(-a，-

y2

x2

a)；表示出

FS

•

FT

即可得到答案．

解答：解：（1）設(shè)點(diǎn)P（x，y），由題意可知，點(diǎn)F的坐標(biāo)為（a，0），
則

MN

=(-m，n)，

NF

=(a，-n)，

MN

•

NF

=-am-n2=0①，
由

OM

=2

ON

+

PO

得：（x，y）=（-m，2n），即

x=-m y=2n

②，
將②式代入①式得：y²=4ax
（2）設(shè)過(guò)F點(diǎn)的直線l方程為：y=k（x-a），與軌跡C交于A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）兩點(diǎn)，
聯(lián)立

y2=4ax y=k(x-a)

得：k²x²-（2ka+4a）x+k²a²=0，
則x₁x₂=a²，y1y2=-

16a2•x1x2

=-4a2．
由于直線OA的方程為：y=

y1

x1

x，則點(diǎn)S的坐標(biāo)為(-a，-

y1

x1

a)；
同理可得點(diǎn)T的坐標(biāo)為(-a，-

y2

x2

a)；
故

FS

=(-2a，-

y1

x1

a)，

FT

=(-2a，-

y2

x2

a)，
則

FS

•

FT

=4a2+

y1y2

x1x2

a2=0．

點(diǎn)評(píng)：解決此類題目的關(guān)鍵是熟練掌握求軌跡方程的方法（消參法），以及設(shè)點(diǎn)利用點(diǎn)表示有關(guān)的向量的表達(dá)式即可，此題對(duì)計(jì)算能力要求較高．