Question

已知圓C：x²+y²=4，點D（4，0），坐標原點為O．圓C上任意一點A在X軸上的影射為點B已知向量

OQ

=t

OA

+（1-t）

OB

（t∈R，t≠0）
（1）求動點Q的軌跡E的方程
（2）當t=

3

2

時，設(shè)動點Q關(guān)于X軸的對稱點為點P，直線PD交軌跡E于點R （異于P點），試問：直線QR與X軸的交點是否為定點，若是定點，求出其坐標；若不是定點，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）設(shè)設(shè)Q（x，y），A（x₀，y₀）B（x₀，0）代入

OQ

=t

OA

+(1-t)

OB

得到x0= x，y0=

y

t

所以動點Q的軌跡E的方程為x2+

y2

t2

=4．
（2）設(shè)直線PD的方程為y=k（x-4）．代入①，并整理得（3+4k²）x²-32k²x+64k²-12=0設(shè)點P（x₁，y₁），R（x₂，y₂），則Q（x₁，-y₁），直線RQ的方程為
y-y2=

y2+y1

x2-x2

(x-x2)令y=0將y₁=k（x₂-4），y₂=k（x₂-4），x1+x2=

32k2

3+4k2

，x1x2=

64k2-12

3+4k2

代入整理得x=1，即直線QR過定點（1，0）．驗證當k=0時也成立．

解答：解：（1）設(shè)Q（x，y），A（x₀，y₀），則B（x₀，0）．
∵

OQ

=t

OA

+(1-t)

OB

∴（x，y）=t（x₀，y₀）+（1-t）（x₀，0）
∴x0= x，y0=

y

t

∵

x

2 0

+

y

2 0

=4，x2+

y2

t2

=4
即軌跡E的方程為x2+ 

y2

t2

=4
（2）當t=

3

2

時，軌跡E為橢圓，方程為

x2

4

+

y2

3

=1…①
設(shè)直線PD的方程為y=k（x-4）．代入①，并整理得
（3+4k²）x²-32k²x+64k²-12=0…②
由題意得，必有△＞0，故方程②有兩個不等實根．
設(shè)點P（x₁，y₁），R（x₂，y₂），則Q（x₁，-y₁）
由②知，x1+x2= 

32k2

3+4k2

，x1x2=

64k2-12

3+4k2

直線RQ的方程為y-y2=

y2+y1

x2-x1

(x-x2)
當k≠0時，令y=0，得x=x2-

y2( x2-x1)

y2+y1

，將y₁=k（x₂-4），y₂=k（x₂-4）代入整理得
x=

2x1x2-4(x1+x2)

x1+x2-8

…③
再將x1+x2=

32k2

3+4k2

，x1x2=

64k2-12

3+4k2

代入③計算得，x=1即直線QR過定點（1，0）

當k=0時，y₁=y₂=0，直線QR過定點（1，0）
綜上可得，直線QR與x軸交于定點，該定點的坐標為（1，0）．

點評：本題考查求曲線方程的方法中相關(guān)點代入法以及直線與橢圓的位置關(guān)系，直線的方程和定點問題，在高考中定值也是考查的重點．