Question

19．已知甲、乙、丙等6人．
（1）這6人同時參加一項活動，必須有人去，去幾人自行決定，共有多少種不同的去法？
（2）這6人同時參加6項不同的活動，每項活動限1人參加，求甲不參加第一項活動且乙不參加第三項活動的概率．
（3）這6人同時參加4項不同的活動，求每項活動至少有1人參加的概率．

Answer 1

分析 （1）分別求出這6個人只去1個人、只去2個人、只去3個人、只去4個人、只去5個人，6的人全去的方法數(shù)，相加，即得所求．
（2）所有的安排方法共有$A_6^6$種，其中甲參加第一項活動的方法有$A_5^5$種，乙參加第三項活動的方法有$A_5^5$種，甲參加第一項活動而且乙參加第三項活動的方法有$A_4^4$種，利用間接法得到所求．
（3）求得每項活動至少有1人參加的方法有$（C_6^3+\frac{1}{2}C_6^2•C_4^2）A_4^4=65×24=1560$種，再求得所有的安排方法共有 4⁶ 種，由此求得每項活動至少有1人參加的概率．

解答 解：（1）分別求出這6個人只去1個人、只去2個人、只去3個人、只去4個人、只去5個人，6的人全去的方法數(shù)，分別為$C_6^1，C_6^2，C_6^3，C_6^4，C_6^5，C_6^6$，
故共有2⁶-1=63種方法．…4
（2）所有的安排方法共有$A_6^6$種，其中甲參加第一項活動的方法有$A_5^5$種，
乙參加第三項活動的方法有$A_5^5$種，
甲參加第一項活動而且乙參加第三項活動的方法有$A_4^4$種，
故甲不參加第一項活動且乙不參加第三項活動的不同的安排方法有$A_6^6-2A_5^5+A_4^4=504$種．…8
又因為所有的安排方法有$A_6^6$=720種，所以甲不參加第一項活動且乙不參加第三項活動的概率為$\frac{7}{10}$…9
（3）這6人同時參加4項不同的活動，每項活動至少有1人參加，
若各項活動的人數(shù)為3、1、1、1時，有$C_6^3•A_4^4$種方法，
若各項活動的人數(shù)為2、2、1、1，則有$\frac{1}{2}C_6^2•C_4^2•A_4^4$種方法，
故滿足條件的方法數(shù)為$（C_6^3+\frac{1}{2}C_6^2•C_4^2）A_4^4=65×24=1560$種．…13
而所有的安排方法共有4⁶種，故每項活動至少有1人參加的概率為$\frac{65×24}{4^6}=\frac{195}{512}$…14

點評 本題主要考查排列組合的實際應用，本題解題的關鍵是對于有限制的元素要優(yōu)先排，特殊位置要優(yōu)先排，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學思想．當直接解的情況比較復雜時，可以考慮用間接解法，是一個中檔題目．