Question

【題目】已知橢圓的離心率為，圓經(jīng)過橢圓的左，右焦點.

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）直線與橢圓交于點，線段的中點為，的垂直平分線與軸和軸分別交于兩點，是否存在實數(shù)，使得的面積與（為原點）的面積相等？若存在，求出的值，若不存在，說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）不存在，理由見解析.

【解析】

（1）設(shè)，由題意得，，從而可求出，，即可得出結(jié)果；

（2）先假設(shè)存在實數(shù)，使得的面積與的面積相等，易知，把代入整理，設(shè)，，由根與系數(shù)關(guān)系，求得.，設(shè)點坐標(biāo)為，根據(jù)題意，求得.

根據(jù)，列出方程，求得方程無解，即可得出結(jié)論.

（1）設(shè)，由題意得，

由圓經(jīng)過橢圓的左，右焦點，得，

所以，，

所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.

（2）假設(shè)存在實數(shù)，使得的面積與的面積相等，易知，

把代入，

整理得，，

設(shè)，，則，

故點的橫坐標(biāo)為，點的給坐標(biāo)為，

即.

設(shè)點坐標(biāo)為，因為，

所以，解得，即.

由，及的面積與面積相等，可得.

所以，

整理得.因為此方程無解，

所以不存在實數(shù)，使得的面積與的面積相等.