Question

（本小題滿分14分）
平面直角坐標(biāo)系中，已知直線:，定點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)到直線的距離是到定點(diǎn)的距離的2倍.
（1）求動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程；
（2）若為軌跡上的點(diǎn)，以為圓心，長(zhǎng)為半徑作圓，若過(guò)點(diǎn)可作圓的兩條切線,（，為切點(diǎn)），求四邊形面積的最大值．

Answer 1

解（1）設(shè)點(diǎn)到的距離為，依題意得，
即，                         ………………………………2分
整理得，軌跡的方程為．            ………………………………4分
（2）（法一）設(shè) ，圓：，其中
由兩切線存在可知，點(diǎn)在圓外，
所以，，即，
又為軌跡上的點(diǎn)，所以．
而，所以，，即． ……………………6分

由（1）知，為橢圓的左焦點(diǎn)，
根據(jù)橢圓定義知，，
所以，而，
所以，在直角三角形中，
，
，
由圓的性質(zhì)知，四邊形面積，其中．………10分
即（）．
令（），則，
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減．
所以，在時(shí)，取極大值，也是最大值，
此時(shí)．           …………………………14分
（法二）同法一，四邊形面積，其中．…10分
所以．
由，解得，所以． ……………………14分

略