如圖, 已知四邊形ABCD和BCEG均為直角梯形，AD∥BC，CE∥BG，且，平面ABCD⊥平面BCEG，BC=CD=CE=2AD=2BG=2.

（1）求證：AG平面BDE;
（2）求：二面角GDEB的余弦值.

（1）見解析（2）

解析試題分析：（1）由題設(shè)，平面ABCD⊥平面BCEG，可證 兩兩垂直，據(jù)此建設(shè)立以 為坐標(biāo)原點的空間直角坐標(biāo)系，寫出 諸點的坐標(biāo)，求出平面 的一個法向量 ，由于，要證AG平面BDE，只要證即可；
（2）設(shè)平面的一個法向量為 ，由求出的坐標(biāo)，最后利用向量 求出二面角GDEB的余弦值.
試題解析：
解：由平面，平面
,
平面BCEG, ，
由平面，知，.2分
根據(jù)題意建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，可得
.3分

（1）設(shè)平面BDE的法向量為，則
即 ， ，
平面BDE的一個法向量為..5分
 ，，
，∴AG∥平面BDE. .7分
（2）由（1）知
設(shè)平面EDG的法向量為，則 即
平面EDG的一個法向量為..9分
又平面BDE的一個法向量為，
設(shè)二面角的大小為，則，
二面角的余弦值為.12分
考點：1、空間直角坐系；2、利用空間向量的數(shù)量積判斷空間中直線與平面的位置關(guān)系；3、利用空間向量的夾角求二面角的平面角的余弦.

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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

在斜三棱柱中，平面平面ABC，，，.
（1）求證：；
（2）若，求二面角的余弦值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

如圖，四棱錐中，底面為平行四邊形，，，⊥底面．
 
(1)證明：平面平面；
(2)若二面角為，求與平面所成角的正弦值．

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如圖，正三棱柱所有棱長都是2，D棱AC的中點，E是棱的中點，AE交于點H.

（1）求證：平面；
（2）求二面角的余弦值；
（3）求點到平面的距離.

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如圖，四邊形ABCD為正方形，PD⊥平面ABCD，PD∥QA，．

（1）證明：平面PQC⊥平面DCQ；
（2）求二面角Q—BP—C的余弦值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

如圖，直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB⊥AC,D、E分別為AA1、B1C的中點，DE⊥平面BCC1

（1）證明：AB=AC
（2）設(shè)二面角A-BD-C為60°,求B1C與平面BCD所成的角的大小

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知四棱錐的底面是等腰梯形，且分別是的中點.

（1）求證：；
（2）求二面角的余弦值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

如圖，在四棱錐O—ABCD中，底面ABCD是邊長為1的正方形，OA⊥底面ABCD，OA＝2，M為OA中點。

（1）求證：直線BD⊥平面OAC；
（2）求直線MD與平面OAC所成角的大��；
（3）求點A到平面OBD的距離。

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

如圖，在中，，，點在邊上，設(shè)，過點作交于，作交于。沿將翻折成使平面平面；沿將翻折成使平面平面．

（1）求證：平面；
（2）是否存在正實數(shù)，使得二面角的大小為？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由．

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