Question

如圖所示，已知某橢圓的焦點是F1(－4，0)、F2(4，0)，過點F2并垂直x軸的直線與橢圓的一個交點為B，且｜F1B｜＋｜F2B｜＝10．橢圓上不同的兩點A(x1，y1)、C(x2，y2)滿足條件：｜F2A｜、｜F2B｜、｜F2C｜成等差數(shù)列． (1) 求該橢圓的方程 (2) 求弦AC中點的橫坐標 (3) 設弦AC的垂直平分線的方程為y＝kx＋m，求m的取值范圍．

Answer 1

答案：
解析：

(1)	解析：由橢圓定義及條件知2a＝｜F1B｜＋｜F2B｜＝10，得a＝5，又c＝4，所以b＝＝3．故橢圓方程為＋＝1．
(2)	由點B(4，yB)在橢圓上，得｜F2B｜＝｜yB｜＝． 　　因為橢圓右準線方程為x＝，離心率為， 　　根據(jù)橢圓定義，有｜F2A｜＝(－x1)，｜F2C｜＝(－x2)． 　　由｜F2A｜、｜F2B｜、｜F2C｜成等差數(shù)列，得 　　(－x1)＋(－x2)＝2×． 　　由此得出x1＋x2＝8． 　　設弦AC的中點為P(x0，y0)，則x0＝＝＝4．
(3)	由A(x1，y1)，C(x2，y2)在橢圓上，得 　�、埽�⑤得9(－)＋25(－)＝0， 　　即9()＋25()()＝0(x1≠x2)． 　　將＝x0＝4，＝y(tǒng)0，＝－(k≠0)代入上式，得 9×4＋25y0(－)＝0(k≠0)． 　　由上式得k＝y0(當k＝0時也成立)． 　　由點P(4，y0)在弦AC的垂直平分線上，得y0＝4k＋m．所以m＝y(tǒng)0－4k＝y(tǒng)0－y0＝－y0． 　　由P(4，y0)在線段(與B關于x軸對稱)上，得－＜y0＜．所以－＜m＜．