Question

（2010•沅江市模擬）橢圓b²x²+a²y²=a²b²（a＞b＞0）的兩個焦點分別是F₁、F₂，等邊三角形的邊AF₁、AF₂與該橢圓分別相交于B、C兩點，且2|BC|=|F₁F₂|，則該橢圓的離心率等于（　　）

• A．

  1

  2

• B．

  3 -1

  2

• C．

  3

  -1
• D．

  3

  2

Answer 1

分析：由△A為正三角形可得∠AF₁F₂=∠A=60°，則可求直線AF₁，AF₂的斜率，進而可求所在的直線方程，其交點，而AF₁中點B在橢圓上，代入橢圓的方程，結(jié)合b²=a²-c²及0＜e＜1可求該橢圓的離心率．

解答：解：由△AF₁F₂為正三角形可得∠AF₁F₂=∠AF₂F₁=60°
則直線AF₁，AF₂的斜率分別為

3

，-

3

則直線AF₁，AF₂所在的直線方程分別為y=

3

(x+c)，y=-

3

(x-c)，
其交點A（0，

3

c），由于2|BC|=|F₁F₂|，得BC是三角形的中位線，得B是AF₁的中點，
從而AF₁中點B（ -

1

2

c，

3

2

c）在橢圓上，代入橢圓的方程可得

c2

4a2

+

3c2

4b2

=1
整理可得，c²（a²-c²）+3c²a²=4a²（a²-c²）
∴4a⁴-8a²c²+c⁴=0
兩邊同時除以a⁴可得，e⁴-8e²+4=0
∵0＜e＜1
∴e2=4-2

3

，e2=2+

3

（舍）
∴e=

3

-1
故選C．

點評：本題考查橢圓的簡單性質(zhì)，直角三角形中的邊角關(guān)系的應(yīng)用，考查計算能力和數(shù)形結(jié)合思想．