Question

國(guó)慶長(zhǎng)假期間小明去參觀畫(huà)展，為了保護(hù)壁畫(huà)，舉辦方在壁畫(huà)前方用垂直于地面的透明玻璃幕墻與觀眾隔開(kāi)，小明在一幅壁畫(huà)正前方駐足觀看．如圖是小明觀看該壁畫(huà)的縱截面示意圖，已知壁畫(huà)高度AB是2米，壁畫(huà)底端與地面的距離BO是1米，玻璃幕墻與壁畫(huà)之間的距離OC是1米．若小明的身高為a米（0＜a＜3），他在壁畫(huà)正前方x米處觀看，問(wèn)x為多少時(shí)，小明觀看這幅壁畫(huà)上下兩端所成的視角θ最大？

Answer 1

（本小題滿分16分）
解：因?yàn)閥=tanx在x∈（0，）是增函數(shù)，
（1）當(dāng)0＜a＜1時(shí)，如圖1，tanθ=tan（α-β）==，
令函數(shù)f（x）=，可證明函數(shù)f（x）在（0，）是單調(diào)減函數(shù)，
在是單調(diào)增函數(shù)．
若時(shí)，即，
f（x）在[1，+∞）上是增函數(shù)，此時(shí)當(dāng)x=1時(shí)tanθ取得最大值，則視角θ最大．
若時(shí)，即，
①當(dāng)x=時(shí)，tanθ取得最大值，則視角θ最大．
②當(dāng)a=1時(shí)，tanθ=（x≥1），當(dāng)x=1時(shí)tanθ取得最大值，則視角θ最大．
（2）當(dāng)1＜a＜3且a≠2時(shí)如圖2，
tanθ═tan（α+β）==，
令g（x）=，
在[1，+∞）上是增函數(shù)，所以當(dāng)x=1時(shí)，y_max＞0，tanθ＞0，故θ為銳角．
∴當(dāng)x=1時(shí)，g（x）取得最小值，tanθ取得最大值，則視角θ最大．
綜上：當(dāng)時(shí)，且x=1時(shí)，視角θ最大；
當(dāng)，時(shí)，且x=時(shí)，視角θ最大．
分析：通過(guò)0＜a＜1，1＜a＜3且a≠2，分別求出tanθ，構(gòu)造函數(shù)通過(guò)函數(shù)的單調(diào)性求出函數(shù)的最大值，說(shuō)明視角最大．
點(diǎn)評(píng)：本題考查解三角形的實(shí)際應(yīng)用，考查函數(shù)的單調(diào)性的應(yīng)用，分類討論思想，計(jì)算能力．