Question

在邊長(zhǎng)為2的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E是BC的中點(diǎn)，F(xiàn)是DD₁的中點(diǎn)，
（1）求點(diǎn)A到平面A₁DE的距離；
（2）求證：CF∥平面A₁DE；
（3）求二面角E-A₁D-A的平面角大小的余弦值．

Answer 1

【答案】分析：（1）分別以DA，DC，DD₁為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量的點(diǎn)到平面的距離公式即可求得點(diǎn)A到平面A₁DE的距離；
（2）確定•=-2+2=0，可得⊥，從而可得CF∥平面A₁DE；
（3）確定平面A₁DA的法向量、平面A₁DE的法向量，利用向量的夾角公式，即可得到結(jié)論．
解答：（1）解：分別以DA，DC，DD₁為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則A（2，0，0），A₁（2，0，2），E（1，2，0），
D（0，0，0），C（0，2，0），F(xiàn)（0，0，1），
∴=（2，0，2），=（1，2，0），=（2，0，0）
設(shè)平面A₁DE的法向量是=（a，b，c）
則，∴=（-2，1，2）
∴點(diǎn)A到平面A₁DE的距離是d==；
（2）證明：∵=（0，-2，1），
∴•=-2+2=0，∴⊥，
∴CF∥平面A₁DE；
（3）解：∵平面A₁DA的法向量為=（0，2，0），平面A₁DE的法向量是=（-2，1，2）
∴cos＜＞===．
點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查點(diǎn)、線、面間的距離計(jì)算、直線與平面平行的判定等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，考查空間想象能力，屬于中檔題．