如圖，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，DA⊥AB，AD=3，AB=4，BC=
3
，點(diǎn)E在線段AB的延長(zhǎng)線上．若曲線段DE（含兩端點(diǎn)）為某曲線L上的一部分，且曲線L上任一點(diǎn)到A、B兩點(diǎn)的距離之和都相等．
（1）建立恰當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系，求曲線L的方程；
（2）根據(jù)曲線L的方程寫出曲線段DE（含兩端點(diǎn)）的方程；
（3）若點(diǎn)M為曲線段DE（含兩端點(diǎn)）上的任一點(diǎn)，試求|MC|+|MA|的最小值，并求出取得最小值時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)．
解（1）如圖，以AB所在的直線為x軸，其垂直平分線為y軸，建立所示的直角坐標(biāo)系，
則A(-2，0)，B(2，0)，C(2，
3
)，D(-2，3)，|DA|=3，|DB|=5．
設(shè)動(dòng)點(diǎn)M（x，y）為曲線L上的任一點(diǎn)，
則|MA|+|MB|=|DA|+|DB|=8，
即
(x+2)2+y2
+
(x-2)2+y2
=8
整理得
x2
16
+
y2
12
=1，為所求曲線L的方程
（2）由題意知xD＜x＜xE，y≥0，
而xD=xA=-2，xE=4
則所求曲線段DE的方程為
x2
16
+
y2
12
=1(-2≤x≤4，y≥0)
（3）由橢圓的定義及點(diǎn)M為曲線段DE（含兩端點(diǎn)）上的任一點(diǎn)可知|MA|+|MB|=2a=8，即|MA|=8-|MB|，
則|MC|+|MA|=8+|MC|-|MB|≥8-|BC|=8-2
3
，
當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)M位于線段BC的交點(diǎn)處時(shí)等號(hào)成立，
由BC⊥AB知此時(shí)點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為2，則其縱坐標(biāo)為3，
即當(dāng)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（2，3）時(shí)|MC|+|MA|有最小值8-2
3
．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

如圖，已知橢圓C：x2+
y2
a2
=1(a＞1)的離心率為e，點(diǎn)F為其下焦點(diǎn)，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，過(guò)F的直線l：y=mx-c（其中c=
a2-1
）與橢圓C相交于P，Q兩點(diǎn)，且滿足：
OP
•
OQ
=
a2(c2-m2)-1
2-c2
．
（Ⅰ）試用a表示m2；
（Ⅱ）求e的最大值；
（Ⅲ）若e∈(
1
3
，
1
2
)，求m的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

已知拋物線C的頂點(diǎn)為O（0，0），焦點(diǎn)F（0，1）
（Ⅰ）求拋物線C的方程；
（Ⅱ）過(guò)F作直線交拋物線于A、B兩點(diǎn)．若直線OA、OB分別交直線l：y=x-2于M、N兩點(diǎn)，求|MN|的最小值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)是拋物線E：y2=4x的焦點(diǎn)．
（Ⅰ）過(guò)F作直線l交拋物線E于P，Q兩點(diǎn)，求
OP
•
OQ
的值；
（Ⅱ）過(guò)點(diǎn)T（t，0）作兩條互相垂直的直線分別交拋物線E于A，B，C，D四點(diǎn)，且M，N分別為線段AB，CD的中點(diǎn)，求△TMN的面積最小值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

已知拋物線C的方程為x2=4y，直線y=2與拋物線C相交于M，N兩點(diǎn)，點(diǎn)A，B在拋物線C上．
（Ⅰ）若∠BMN=∠AMN，求證：直線AB的斜率為
2
；
（Ⅱ）若直線AB的斜率為
2
，求證點(diǎn)N到直線MA，MB的距離相等．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

已知一條曲線C在y軸右側(cè)，C上每一點(diǎn)到點(diǎn)F（1，0）的距離減去它到y(tǒng)軸距離的差都是1．
（1）求曲線C的方程；
（2）設(shè)直線l交曲線C于A，B兩點(diǎn)，線段AB的中點(diǎn)為D（2，-1），求直線l的一般式方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

如圖，橢圓E：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，離心率e=
5
5
，過(guò)F1的直線交橢圓于M、N兩點(diǎn)，且△MNF2周長(zhǎng)為4
5
．
（Ⅰ）求橢圓E的方程；
（Ⅱ）已知過(guò)橢圓中心，且斜率為k（k≠0）的直線與橢圓交于A、B兩點(diǎn)，P是線段AB的垂直平分線與橢圓E的一個(gè)交點(diǎn)，若△APB的面積為
40
9
，求k的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：單選題

過(guò)點(diǎn)P（1，1）作直線與雙曲線x2-
y2
2
=1交于A、B兩點(diǎn)，使點(diǎn)P為AB中點(diǎn)，則這樣的直線（　�。�
A．存在一條，且方程為2x-y-1=0
B．存在無(wú)數(shù)條
C．存在兩條，方程為2x±（y+1）=0
D．不存在

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

已知雙曲線C：x2-
y2
2
=1，過(guò)點(diǎn)P（-1，-2）的直線交C于A，B兩點(diǎn)，且點(diǎn)P為線段AB的中點(diǎn)．
（1）求直線AB的方程；
（2）求弦長(zhǎng)|AB|的值．

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