Question

已知函數(shù)f(x)=loga

2m-1-mx

x+1

(a＞0，a≠1)是奇函數(shù)，定義域?yàn)閰^(qū)間D（使表達(dá)式有意義的實(shí)數(shù)x 的集合）．
（1）求實(shí)數(shù)m的值，并寫出區(qū)間D；
（2）若底數(shù)a滿足0＜a＜1，試判斷函數(shù)y=f（x）在定義域D內(nèi)的單調(diào)性，并說明理由；
（3）當(dāng)x∈A=[a，b）（A⊆D，a是底數(shù)）時，函數(shù)值組成的集合為[1，+∞），求實(shí)數(shù)a、b的值．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)，得到任意x∈D，有f（x）+f（-x）=0，即可得到（m²-1）x²-（2m-1）²+1=0在D內(nèi)恒成立，即得到

m2-1=0 (2m-1)2-1=0

即可得到m，寫出區(qū)間D；
（2）令t=

1-x

1+x

=-1+

2

1+x

，在D=（-1，1）上是隨x增大而減小，根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性即可判斷；
（3）根據(jù)A⊆D，結(jié)合（2）知函數(shù)f(x)=loga

1-x

1+x

在A上是增函數(shù)，得到f(a)=1，即 loga

1-a

1+a

=1得到a，在根據(jù)若b＜1，則f（x）在A上的函數(shù)值組成的集合為[1，loga

1-b

1+b

)，不滿足函數(shù)值組成的集合是[1，+∞）的要求，得到b．

解答：解（1）∵y=f（x）是奇函數(shù)，
∴對任意x∈D，有f（x）+f（-x）=0，即loga

2m-1-mx

1+x

+loga

2m-1+mx

1-x

=0．
化簡此式，得（m²-1）x²-（2m-1）²+1=0．又此方程有無窮多解（D是區(qū)間），
必有

m2-1=0 (2m-1)2-1=0

，解得m=1．
∴f(x)=loga

1-x

1+x

，D=(-1，1)．
（2）當(dāng)0＜a＜1時，函數(shù)f(x)=loga

1-x

1+x

在D=(-1，1)上是單調(diào)增函數(shù)．
理由：令t=

1-x

1+x

=-1+

2

1+x

．
易知1+x在D=（-1，1）上是隨x增大而增大，

2

1+x

在D=（-1，1）上是隨x增大而減小，
故t=

1-x

1+x

=-1+

2

1+x

在D=（-1，1）上是隨x增大而減小
于是，當(dāng)0＜a＜1時，函數(shù)f(x)=loga

1-x

1+x

在D=(-1，1)上是單調(diào)增函數(shù)．
（3）∵x∈A=[a，b）（A⊆D，a是底數(shù)）
∴0＜a＜1，a＜b≤1．
∴由（2）知，函數(shù)f(x)=loga

1-x

1+x

在A上是增函數(shù)，即f(a)=1，loga

1-a

1+a

=1，
解得a=

2

-1(舍去a=-

2

-1)．
若b＜1，則f（x）在A上的函數(shù)值組成的集合為[1，loga

1-b

1+b

)，不滿足函數(shù)值組成的集合是[1，+∞）的要求，
∴必有b=1．
因此，所求實(shí)數(shù)a、b的值是a=

2

-1、b=1．

點(diǎn)評：本題從恒等式出發(fā)得到m，另外復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性的判斷關(guān)鍵在于分離出單個函數(shù)，屬于中檔題．