Question

如圖所示，甲船由A島出發(fā)向北偏東45°的方向作勻速直線航行，速度為15

2

海里/小時，在甲船從A島出發(fā)的同時，乙船從A島正南40海里處的B島出發(fā)，朝北偏東θ（tanθ=

1

2

）的方向作勻速直線航行，速度為10

5

海里/小時．
（1）求出發(fā)后3小時兩船相距多少海里？
（2）求兩船出發(fā)后多長時間距離最近？最近距離為多少海里？
（3）兩船在航行中能否相遇，試說明理由．

Answer 1

分析：（1）以A為原點，BA所在直線為y軸建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系．設(shè)在t時刻甲、乙兩船分別在P（x₁，y₁）、Q（x₂，y₂）處．則根據(jù)題意可分別表示出x₁和y₁，進而根據(jù)由tanθ=

1

2

可求得cosθ和sinθ的值，進而表示出x₂和y₂，令t=3，則P，Q兩點坐標(biāo)可得，進而根據(jù)兩點間的距離求得PQ的值，即出發(fā)后3小時兩船相距的距離．
（2）根據(jù)（1）可根據(jù)兩點間的距離求得QP，進而根據(jù)t的范圍求得PQ的最小值，進而可求得兩船出發(fā)4小時后距離最近，最近距離為20

2

海里．
（3）根據(jù)（2）可知兩船之間的最近距離為20

2

海里，推斷出兩船不可能相遇．

解答：解：以A為原點，BA所在直線為y軸建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系．
設(shè)在t時刻甲、乙兩船分別在P（x₁，y₁）、Q（x₂，y₂）處．
則

x1=15 2 tcos45°=15t   y1=x1=15t

由tanθ=

1

2

可得，
cosθ=

2 5

5

，sinθ=

5

5

，
故

x2=10 5 tsinθ=10t  y2=10 5 tcosθ-40=20t-40

（1）令t=3，P、Q兩點的坐標(biāo)分別為（45，45），（30，20），
|PQ|=

(45-30)2+(45-20)2

=

850

=5

34

．
即出發(fā)后3小時兩船相距5

34

海里．
（2）由（1）的解法過程易知：
|PQ|=

(x2-x1)2+(y2-y1)2

=

(10t-15t)2+(20t-40-15t)2

=

50t2-400t+1600

=

50(t-4)2+800

≥20

2

，
∴當(dāng)且僅當(dāng)t=4時，|PQ|取得最小值20

2

．
即兩船出發(fā)4小時后距離最近，最近距離為20

2

海里．
（3）由（2）可知，兩船之間的最近距離為20

2

海里，所以兩船在航行中不會相遇

點評：本題主要考查了解三角形問題的實際應(yīng)用．考查了學(xué)生綜合分析問題和解決的能力．