Question

設(shè)點(diǎn)P（x₀，y₀）在直線x=m（y≠±m(xù)，0＜m＜1）上，過(guò)點(diǎn)P作雙曲線x²-y²=1的兩條切線PA、PB，切點(diǎn)為A、B，定點(diǎn)M(

1

m

，0)．
（1）求證：三點(diǎn)A、M、B共線．
（2）過(guò)點(diǎn)A作直線x-y=0的垂線，垂足為N，試求△AMN的重心G所在曲線方程．

Answer 1

分析：（1）先根據(jù)題意設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），將切線PA的方程代入雙曲線的方程，消去y得到關(guān)于x的一元二次方程，再結(jié)合根的判別式等于0即可表示出切線的斜率，因此PA的方程和PB的方程都可以利用A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)表示，又P在PA、PB上，得到點(diǎn)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）都在直線y₀y=mx-1上，從而證得三點(diǎn)A、M、B共線，從而解決問(wèn)題．
（2）設(shè)重心G（x，y），欲求△AMN的重心G所在曲線方程，即求出其坐標(biāo)x，y的關(guān)系式，利用點(diǎn)A在雙曲線上即可得重心G所在曲線方程．

解答：證明：（1）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由已知得到y(tǒng)₁y₂≠0，且x₁²-y₁²=1，x₂²-y₂²=1，
設(shè)切線PA的方程為：y-y₁=k（x-x₁）由

y-y1=k(x-x1) x2-y2=1

得（1-k²）x²-2k（y₁-kx₁）x-（y₁-kx₁）²-1=0
從而△=4k²（y₁-kx₁）²+4（1-k²）（y₁-kx₁）²+4（1-k²）=0，
解得k=

x1

y1

因此PA的方程為：y₁y=x₁x-1
同理PB的方程為：y₂y=x₂x-1
又P（m，y₀）在PA、PB上，所以y₁y₀=mx₁-1，y₂y₀=mx₂-1
即點(diǎn)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）都在直線y₀y=mx-1上
又M(

1

m

，0)也在直線y₀y=mx-1上，所以三點(diǎn)A、M、B共線

（2）垂線AN的方程為：y-y₁=-x+x₁，
由

y-y1=-x+x1 x-y=0

得垂足N(

x1+y1

2

，

x1+y1

2

)，
設(shè)重心G（x，y）
所以

x= 1 3 (x1+ 1 m + x1+y1 2 ) y= 1 3 (y1+0+ x1+y1 2 )

解得

x1= 9x-3y- 3 m 4 y1= 9y-3x+ 1 m 4

由x₁²-y₁²=1可得(3x-3y-

1

m

)(3x+3y-

1

m

)=2即(x-

1

3m

)2-y2=

2

9

為重心G所在曲線方程

點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題、三角形重心、雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程的問(wèn)題等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想．屬于中檔題．