Question

已知函數(shù)f（x）=xlnx．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）在[1，3]上的最小值；
（Ⅱ）若存在（e為自然對數(shù)的底數(shù)，且e=2.71828…）使不等式2f（x）≥-x²+ax-3成立，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

解：（Ⅰ）由f（x）=xlnx，可得f'（x）=lnx+1，（2分）
當時，f'（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減；
當時，f'（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增．
所以函數(shù)f（x）在[1，3]上單調(diào)遞增．
又f（1）=ln1=0，
所以函數(shù)f（x）在[1，3]上的最小值為0．（6分）
（Ⅱ）由題意知，2xlnx≥-x²+ax-3，則．
若存在使不等式2f（x）≥-x²+ax-3成立，
只需a小于或等于的最小值．
設(shè)，則．
當時，h'（x）＜0，h（x）單調(diào)遞減；
當x∈（1，e]時，h'（x）＞0，h（x）單調(diào)遞增．
由，，，
可得．
所以，當時，h（x）的最小值為h（e）=2+e+；
故a≤2+e+．（13分）
分析：（Ⅰ）先求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，研究出原函數(shù)在[1，3]上的單調(diào)性即可求出函數(shù)f（x）在[1，3]上的最小值；
（Ⅱ）先把不等式2f（x）≥-x²+ax-3成立轉(zhuǎn)化為成立，設(shè)，利用導(dǎo)函數(shù)求出h（x）在上的最大值即可求實數(shù)a的取值范圍．
點評：本題主要研究利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值以及函數(shù)恒成立問題．當a≥h（x）恒成立時，只需要求h（x）的最大值；當a≤h（x）恒成立時，只需要求h（x）的最小值．