Question

【題目】設(shè)A，B為函數(shù)圖象上相異兩點(diǎn)，且A，B的橫坐標(biāo)之積為常數(shù)，若在A，B兩點(diǎn)處的切線存在交點(diǎn)，則稱這個(gè)交點(diǎn)為函數(shù)的“點(diǎn)”。

（1）求函數(shù)的“點(diǎn)”的縱坐標(biāo)的取值范圍；

（2）判斷函數(shù)的點(diǎn)”在哪個(gè)象限，并說明理由.

Answer 1

【答案】（1），（2）第一象限,理由見解析。

【解析】

（1）設(shè)，求得導(dǎo)數(shù)和切線方程，求得交點(diǎn)的縱坐標(biāo)，結(jié)合基本不等式可得所求范圍；

（2）設(shè)，求得導(dǎo)數(shù)，以及切線方程，求交點(diǎn)，由構(gòu)造函數(shù)法，即可得到交點(diǎn)的坐標(biāo)均為正數(shù)．

解：（1）設(shè)，

以A，B為切點(diǎn)的切線方程為，消去x得

所以函數(shù)的“點(diǎn)”的縱坐標(biāo)的取值范圍為

（2）設(shè)，，

以A，B為切點(diǎn)的切線方程為， ，

令，可得，

設(shè)，可令，

，即遞增，

，即，

又，則，

函數(shù)的點(diǎn)的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)均為正數(shù)，一定落在第一象限。