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如圖,已知橢圓的長軸為AB,過點B的直線與

軸垂直,橢圓的離心率,F為橢圓的左焦點,且

（1）求此橢圓的標準方程;

（2）設P是此橢圓上異于A,B的任意一點, 軸,H為垂足,延長HP到點Q,使得HP=PQ,連接AQ并延長交直線于點,為的中點，判定直線與以為直徑的圓O位置關系。

 

【答案】

（1）；（2）直線與以為直徑的圓O相切.

【解析】

試題分析：本體主要考查橢圓的標準方程和幾何性質、直線的方程、點到直線的距離公式等基礎知識，考查用代數方法研究圓錐曲線的性質，以及數形結合的數學思想方法，考查運算求解能力、綜合分析和解決問題的能力.第一問，先設出頂點和焦點坐標，代入到已知中列出表達式解出和的值，所以得到橢圓的標準方程；第二問，設出兩點坐標，得到，所以可以得到直線的方程，同理得直線的方程，由直線的方程得到點坐標，從而得斜率，利用橢圓方程化簡，從而得到直線的方程，利用圓心到直線的距離與半徑的關系判斷直線與以為直徑的圓的位置關系.

試題解析：（1）可知，，，，

，

,

得

橢圓方程為

（2）設則

由得，

所以直線AQ的方程為，

由得直線的方程為

由，

又因為

所以

所以直線NQ的方程為

化簡整理得到，

所以點O直線NQ的距離=圓O的半徑，

直線與以為直徑的圓O相切.

考點：1.橢圓的標準方程；2.直線的方程；3.點到直線的距離；4.直線與圓的位置關系.

 

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

（2003•北京）如圖，已知橢圓的長軸A1A2與x軸平行，短軸B1B2在y軸上，中心M（0，r）（b＞r＞0
（Ⅰ）寫出橢圓方程并求出焦點坐標和離心率；
（Ⅱ）設直線y=k1x與橢圓交于C（x1，y1），D（x2，y2）（y2＞0），直線y=k2x與橢圓次于G（x3，y3），H（x4，y4）（y4＞0）．求證：
k1x1x2
x1+x2
=
k1x3x4
x3+x4
；
（Ⅲ）對于（Ⅱ）中的在C，D，G，H，設CH交x軸于P點，GD交x軸于Q點，求證：|OP|=|OQ|
（證明過程不考慮CH或GD垂直于x軸的情形）

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科目：高中數學 來源： 題型：

（03年北京卷理）（15分）

如圖，已知橢圓的長軸與軸平行，短軸在軸上，中心（

（Ⅰ）寫出橢圓方程并求出焦點坐標和離心率；

（Ⅱ）設直線與橢圓交于，（），直線與橢圓次于，（）．求證：；

（Ⅲ）對于（Ⅱ）中的在，設交軸于點，交軸于點，求證：（證明過程不考慮或垂直于軸的情形）

 

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科目：高中數學 來源： 題型：

如圖，已知橢圓的長軸,離心率，為坐標原點，過的直線與軸垂直，是橢圓上異于的任意一點，，為垂足，延長至，使得,連接并延長交直線于，為的中點

（1）求橢圓方程并證明點在以為直徑的圓上

（2）試判斷直線與圓的位置關系

 


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科目：高中數學 來源：2012-2013學年黑龍江高三上期末考試文科數學試卷（解析版） 題型：解答題

（本小題滿分12分）如圖，已知橢圓的長軸為，過點的直線與軸垂直，直線所經過的定點恰好是橢圓的一個頂點，且橢圓的離心率

（1）求橢圓的標準方程；

（2）設是橢圓上異于、的任意一點，軸，為垂足，延長到點使得，連接并延長交直線于點，為的中點．試判斷直線與以為直徑的圓的位置關系．

 

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科目：高中數學 來源：2011-2012學年黑龍江省哈爾濱市高三第一次模擬考試理科數學試卷（解析版） 題型：解答題

（本題滿分12分）

如圖，已知橢圓的長軸為，過點的直線與軸垂直，直線所經過的定點恰好是橢圓的一個頂點，且橢圓的離心率

（1）求橢圓的標準方程；

（2）設是橢圓上異于、的任意一點，軸，為垂足，延長到點使得，連接并延長交直線于點，為的中點．試判斷直線與以為直徑的圓的位置關系．

 

 

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