Question

2．如圖所示，一座小島距離海岸線上最近的點(diǎn)P的距離是2km，從點(diǎn)P沿海岸線正東20km處有一個(gè)城鎮(zhèn)，在點(diǎn)P與城鎮(zhèn)的中點(diǎn)處有一個(gè)車站，假設(shè)一個(gè)人要從小島前往城鎮(zhèn)，若他先乘船到達(dá)海岸線上的點(diǎn)P與車站之間（不含車站），則可租自行車到車站乘車去城鎮(zhèn)； 若他先乘船到達(dá)海岸線上的車站與城鎮(zhèn)之間（含車站），則可乘車去城鎮(zhèn)，設(shè)x（單位：km）表示此人乘船到達(dá)海岸線處距點(diǎn)P的距離，且乘船費(fèi)用y與乘船的距離s之間的函數(shù)關(guān)系為：y=$\frac{1}{32}{s^2}$（單位：元）自行車的費(fèi)用為0.5元/km，乘車的費(fèi)用為1元/km，此人從小島到城鎮(zhèn)的總費(fèi)用為w（x）（單位：元）．
（1）求w（x）的函數(shù)解析式；
（2）當(dāng)x為何值時(shí)，此人所花總費(fèi)用 w（x）最少？并求出此時(shí)的總費(fèi)用．

Answer 1

分析 （1）分類討論，根據(jù)條件，建立函數(shù)關(guān)系式；
（2）分類求出最小值，即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）由題意0≤x＜10，w（x）=$\frac{1}{32}（{x}^{2}+4）+（10-x）×0.5+10$=$\frac{1}{32}{x}^{2}-\frac{1}{2}x+\frac{121}{8}$，
10≤x＜20，w（x）=$\frac{1}{32}（{x}^{2}+4）+20-x$=$\frac{1}{32}{x}^{2}-x+\frac{161}{8}$，
∴$w（x）=\left\{\begin{array}{l}\frac{1}{32}{x^2}-\frac{1}{2}x+\frac{121}{8}，0≤x＜10\\ \frac{1}{32}{x^2}-x+\frac{161}{8}，10≤x＜20\end{array}\right.$．
（2）當(dāng)0≤x＜10時(shí)，$w（x）=\frac{1}{32}{（{x-8}）^2}+\frac{105}{8}$，當(dāng)x=8時(shí)，w（x）取得最小值 $\frac{105}{8}$，
當(dāng)10≤x＜20時(shí)，$w（x）=\frac{1}{32}{（{x-16}）^2}+\frac{97}{8}$，當(dāng)x=16時(shí)，w（x）取得最小值$\frac{97}{8}$，
所以當(dāng)x=16時(shí)，此人所花總費(fèi)用最少，為12.125元．

點(diǎn)評(píng) 本題考查利用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題，考查分段函數(shù)，考查配方法的運(yùn)用，屬于中檔題．