Question

（2008•廣州一模）已知數(shù)列{a_n}中，a₁=5且a_n=2a_n-1+2ⁿ-1（n≥2且n∈N⁺）
（1）求a₂，a₃的值；
（2）是否存在實數(shù)λ，使得數(shù)列{

an+λ

2n

}為等差數(shù)列，若存在，求出λ的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）直接把n=3，2代入a_n=2a_n-1+2ⁿ-1（n∈N^*，n≥2），再借助于a₁=5，即可求出數(shù)列的a₂，a₃的值；
（2）先假設(shè)存在一個實數(shù)λ符合題意，得到

an+λ

2n

-

an-1+λ

2n-1

必為與n無關(guān)的常數(shù)，整理

an+λ

2n

-

an-1+λ

2n-1

即可求出實數(shù)λ，進而求出數(shù)列{a_n}的通項公式．

解答：解：（1）由a_n=2a_n-1+2ⁿ-1（n≥2）⇒a₂=2a₁+2²-1=13⇒a₂=13，
同理可得a₃=33，（3分）
（2）假設(shè)存在一個實數(shù)λ符合題意，則

an+λ

2n

-

an-1+λ

2n-1

必為與n無關(guān)的常數(shù)
∵

an+λ

2n

-

an-1+λ

2n-1

=

an-2an-1-λ

2n

=

2n-1-λ

2n

=1-

1+λ

2n

（5分）
要使

an+λ

2n

-

an-1+λ

2n-1

是與n無關(guān)的常數(shù)，則

1+λ

2n

=0，得λ=-1
故存在一個實數(shù)λ=-1，使得數(shù)列 {

an+λ

2n

}為等差數(shù)列（13分）

點評：本題主要考查數(shù)列遞推關(guān)系式的應用以及等差關(guān)系的確定．解決第二問的關(guān)鍵在于由數(shù)列 {

an+λ

2n

}為等差數(shù)列，得到

an+λ

2n

-

an-1+λ

2n-1

必為與n無關(guān)的常數(shù)，進而求出對應實數(shù)λ的值．