【題目】(附加題,本小題滿分10分,該題計入總分)

已知函數(shù),若在區(qū)間內(nèi)有且僅有一個,使得成立,則稱函數(shù)具有性質(zhì)

(1)若,判斷是否具有性質(zhì),說明理由;

(2)若函數(shù)具有性質(zhì),試求實數(shù)的取值范圍.

【答案】具有性質(zhì);

【解析】

試題(具有性質(zhì).若存在,使得,解方程求出方程的根,即可證得;()依題意,若函數(shù)具有性質(zhì),即方程上有且只有一個實根.設,即上有且只有一個零點.討論的取值范圍,結(jié)合零點存在定理,即可得到的范圍.

試題解析:(具有性質(zhì)

依題意,若存在 ,使,則 時有,即,,.由于 ,所以.又因為區(qū)間內(nèi)有且僅有一個,使成立,所以具有性質(zhì)5

)依題意,若函數(shù)具有性質(zhì),即方程上有且只有一個實根.

,即上有且只有一個零點.

解法一:

1)當時,即時,可得上為增函數(shù),

只需解得交集得

2)當時,即時,若使函數(shù)上有且只有一個零點,需考慮以下3種情況:

時,上有且只有一個零點,符合題意.

)當時,需解得交集得

)當時,即時,需解得交集得

3)當時,即時,可得上為減函數(shù)

只需解得交集得

綜上所述,若函數(shù)具有性質(zhì),實數(shù)的取值范圍是14

解法二:

依題意,

1)由得,,解得

同時需要考慮以下三種情況:

2)由解得

3)由解得不等式組無解.

4)由解得解得

綜上所述,若函數(shù)具有性質(zhì),實數(shù)的取值范圍是

14分.

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