已知向量
a
=（sina，cosa），
b
=（6sina+cosa，7sina-2cosa），設(shè)函數(shù)f（a）=
a
•
b
．
（1）求函數(shù)f（a）的最大值；
（2）在銳角三角形ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，f（A）=6，且△ABC的面積為3，b+c=2+3
2
，求a的值．
分析：（1）根據(jù)向量點(diǎn)乘運(yùn)算表示出f（a）=
a
•
b
=4
2
sin（2a-
π
4
）+2，再由三角函數(shù)的最值求出函數(shù)f（a）的最大值．
（2）根據(jù)（1）中函數(shù)f（a）的解析式表示出f（A）=4
2
sin（2A-
π
4
）+2=6，可得sin（2A-
π
4
）=
2
2
，再根據(jù)角A的范圍確定A=
π
4
由三角形ABC的面積可求出b乘以c的值，最后根據(jù)余弦定理可得答案．
解答：解：（Ⅰ）f（a）=
a
•
b
=sina（6sina+cosa）+cosa（7sina-2cosa）
=6sin2a-2cos2a+8sinacosa=4（1-cos2a）+4sin2a-2
=4
2
sin（2a-
π
4
）+2
∴f(a)max=4
2
+2
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得f（A）=4
2
sin（2A-
π
4
）+2=6，sin（2A-
π
4
）=
2
2

因為 0＜A＜
π
2
，所以-
π
4
＜2A-
π
4
＜
3π
4

所以：2A-
π
4
=
π
4
，A=
π
4

∵S△ABC=
1
2
bcsinA=
2
4
bc=3
∴bc=6
2
，又b+c=2+3
2

∴a2=b2+c2-2bccosA=(b+c)2-2bc-2bc×
2
2

=(2+3
2
)2-12
2
-2×6
2
×
2
2
=10
∴a=
10
點(diǎn)評：本題主要考查平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算和三角函數(shù)里的正余弦定理．這里要熟練掌握正余弦定理的基本內(nèi)容．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知向量
a
=（sinθ，-2），
b
=（cosθ，1）
（1）若
a
∥
b
，求tanθ；
（2）當(dāng)θ∈[-
π
12
，
π
3
]時，求f（θ）=
a
•
b
-2|
a
+
b
|2的最值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知向量
a
=（sinθ，1），
b
=（1，-cosθ），θ∈（0，π）
（Ⅰ）若
a
⊥
b
，求θ；
（Ⅱ）若
a
•
b
=
1
5
，求tan(2θ+
π
4
)的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知向量
a
=（sinθ，cosθ），
b
=（2，1），滿足
a
∥
b
，其中θ∈(0，
π
2
)
（I）求tanθ值；
（Ⅱ）求
2
sin(θ+
π
4
)(sinθ+2cosθ)
cos2θ
的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知向量
a
=（sinθ，cosθ）與
b
=（
3
，1），其中θ∈（0，
π
2
）
（1）若
a
∥
b
，求sinθ和cosθ的值；
（2）若f（θ）=(
a
+ 
b
)2，求f（θ）的值域．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知向量
a
=（sinθ，
3
cosθ），
b
=（1，1）．
（1）若
a
∥
b
，求tanθ的值；
（2）若|
a
|=|
b
|，且0＜θ＜π，求角θ的大�。�

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