已知雙曲線C的中心為原點，點F(
2
，0)是雙曲線C的一個焦點，過點F作漸近線的垂線l，垂足為M，直線l交y軸于點E，若
FM
=
ME
，則C的方程為
x2-y2=1
x2-y2=1
．
分析：先根據(jù)條件求出EF的方程，得到E．F的坐標，再根據(jù)
FM
=
ME
，求出M的坐標，結(jié)合點M在漸近線上得到a，b之間的關(guān)系，再由點F(
2
，0)是雙曲線C的一個焦點，可求出答案．
解答：解：設雙曲線C的為
x2
a2
-
y2
b2
=1，a＞0，b＞0．
漸近線方程是y=±
b
a
x
右焦點的坐標是（
3
，0）
現(xiàn)在假設由右焦點向一、三象限的漸近線引垂線
所以取方程y=
b
a
x
∵EF垂直于漸近線，
∴直線EF的斜率是-
a
b
，
該直線的方程是y=-
a
b
（x-
2
）
當x=0時，y=
2
a
b
，
∴E點的坐標（0，
2
a
b
）
∵
FM
=
ME
，
∴M的坐標（
2
2
，
2
a
2b
）
∵點M在漸近線上，∴
2
a
2b
=
2
2
•
b
a
，
整理得：b2=a2，
∵c=
2
，∴b2=a2=1．
∴雙曲線方程為x2-y2=1．
故答案為：x2-y2=1．
點評：本題主要考查了雙曲線的簡單性質(zhì)．考查了學生轉(zhuǎn)化和化歸的數(shù)學思想的運用，以及基本的運算能力．
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)已知雙曲線C的中心為坐標原點O，焦點F1、F2在x軸上，點P在雙曲線的左支上，點M在右準線上，且滿足
F1O
=
PM
，|
OF1
|=|
OM
|．
（Ⅰ）求雙曲線C的離心率e；
（Ⅱ）若雙曲線C過點Q（2，
3
），B1、B2是雙曲線虛軸的上、下端點，點A、B是雙曲線上不同的兩點，且
B2A
=λ
B2B
，
B2A
⊥
B1B
，求直線AB的方程．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（07年崇文區(qū)一模理）（13分）  已知雙曲線C的中心為坐標原點O，焦點F1、F­2在x軸上，點P在雙曲線的左支上，點

M在右準線上，且滿足

       （Ⅰ）求雙曲線C的離心率e；

       （Ⅱ）若雙曲線C過點Q（2，），B1、B2是雙曲線虛軸的上、下端點，點A、B是雙曲線上不同的兩點，且，求直線AB的方程.

 

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科目：高中數(shù)學 來源：2012年云南省昆明市高三復習適應性檢測數(shù)學試卷（文科）（解析版） 題型：填空題

已知雙曲線C的中心為原點，點是雙曲線C的一個焦點，過點F作漸近線的垂線l，垂足為M，直線l交y軸于點E，若，則C的方程為    ．

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科目：高中數(shù)學 來源：2007年北京市崇文區(qū)高考數(shù)學一模試卷（理科）（解析版） 題型：解答題

已知雙曲線C的中心為坐標原點O，焦點F1、F2在x軸上，點P在雙曲線的左支上，點M在右準線上，且滿足．
（Ⅰ）求雙曲線C的離心率e；
（Ⅱ）若雙曲線C過點Q（2，），B1、B2是雙曲線虛軸的上、下端點，點A、B是雙曲線上不同的兩點，且，求直線AB的方程．

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