Question

已知一個正三棱錐P-ABC的主視圖如圖所示，若AC=BC=

3

2

，PC=

6

，則此正三棱錐的全面積為

 

．

Answer 1

分析：求正三棱錐的全面積即求三個側(cè)面面積與底面面積的和，故求解本題需要求出底面三角形的邊長，側(cè)面上的側(cè)高，由題設(shè)條件及主視圖知底面三角形的邊長是3，頂點到底面的距離是

6

，由于頂點在底面上的投影是底面的中心，故此投影到底邊中點的距離是底面三角形高的

1

3

，由于棱錐的高，側(cè)高及側(cè)高在底面上的投影三者構(gòu)成了一個直角三角形，故在此直角三角形中可以求出側(cè)高，由此正正三棱錐的全面積可求．

解答：解：由題設(shè)條件及主視圖知底面三角形的邊長是3，頂點到底面的距離是

6

，
故底面三角形各邊上的高為3×

3

2

=

3 3

2

令頂點P在底面上的投影為M，由正三棱錐的結(jié)構(gòu)特征知M到三角形各邊中點的距離是底面三角形高的

1

3

，為

3

2

故側(cè)高為

( 6 )2+( 3 2 )2

=

3 3

2

故此正三棱錐的全面積為3×

1

2

×

3 3

2

× 3+

1

2

×

3 3

2

× 3=

27 3

4

+

9 3

4

=9

3

故答案為：9

3

點評：本題考點是由三視圖求面積與體積，三視圖的作圖規(guī)則是主視圖與俯視圖長對正，主視圖與側(cè)視圖高平齊，側(cè)視圖與俯視圖是寬相等，本題是考查利用三視圖的作圖規(guī)則把三視圖中的數(shù)據(jù)還原到原始圖形中來，求面積與體積，做題時要注意正確利用三視圖中所提供的信息．