【題目】如圖,圓形紙片的圓心為O,半徑為5cm,該紙片上的等邊三角形ABC的中心為O.D、E、F為圓O上的點,△DBC,△ECA,△FAB分別是以BC,CA,AB為底邊的等腰三角形.沿虛線剪開后,分別以BC,CA,AB為折痕折起△DBC,△ECA,△FAB,使得D、E、F重合,得到三棱錐.當△ABC的邊長變化時,所得三棱錐體積(單位:cm3)的最大值為

【答案】4 cm3
【解析】解:由題意,連接OD,交BC于點G,由題意得OD⊥BC,OG= BC,
即OG的長度與BC的長度成正比,
設OG=x,則BC=2 x,DG=5﹣x,
三棱錐的高h= = = ,
=3 ,
則V= = = ,
令f(x)=25x4﹣10x5 , x∈(0, ),f′(x)=100x3﹣50x4 ,
令f′(x)≥0,即x4﹣2x3≤0,解得x≤2,
則f(x)≤f(2)=80,
∴V≤ =4 cm3 , ∴體積最大值為4 cm3
故答案為:4 cm3

由題,連接OD,交BC于點G,由題意得OD⊥BC,OG= BC,設OG=x,則BC=2 x,DG=5﹣x,三棱錐的高h= ,求出SABC=3 ,V= = ,令f(x)=25x4﹣10x5 , x∈(0, ),f′(x)=100x3﹣50x4 , f(x)≤f(2)=80,由此能求出體積最大值.

練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】如圖,已知等腰梯形ABCD中,AD∥BC,BC=2AD=2AB=4,將△ABD沿BD折到△A′BD的位置,使平面A′BD⊥平面CBD.

(Ⅰ)求證:CD⊥A′B;
(Ⅱ)試在線段A′C上確定一點P,使得二面角P﹣BD﹣C的大小為45°.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】數(shù)列滿足: ,且 ,其前n項和.

(1)求證:為等比數(shù)列;

(2)記為數(shù)列的前n項和.

(i)當時,求;

(ii)當時,是否存在正整數(shù),使得對于任意正整數(shù),都有?如果存在,求出的值;如果不存在,請說明理由.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】選修4-4:坐標系與參數(shù)方程

在直角坐標系中,曲線的參數(shù)方程為為參數(shù),),以直角坐標系的原點為極點,以軸的正半軸為極軸建立坐標系,圓的極坐標方程為.

(1)求圓的直角坐標方程(化為標準方程)及曲線的普通方程;

(2)若圓與曲線的公共弦長為,求的值.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】在直角坐標系內(nèi),已知是以點為圓心的圓上的一點,折疊該圓兩次使點分別與圓上不相同的兩點(異于點)重合,兩次的折痕方程分別為,若圓上存在點,使得,其中點、,則的取值范圍為( )

A. B. C. D.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】對于無窮數(shù)列,給出下列命題:

①若數(shù)列既是等差數(shù)列,又是等比數(shù)列,則數(shù)列是常數(shù)列.

②若等差數(shù)列滿足,則數(shù)列是常數(shù)列.

③若等比數(shù)列滿足,則數(shù)列是常數(shù)列.

④若各項為正數(shù)的等比數(shù)列滿足,則數(shù)列是常數(shù)列.

其中正確的命題個數(shù)是( )

A. 1B. 2C. 3D. 4

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】如圖,在三棱錐A﹣BCD中,AB⊥AD,BC⊥BD,平面ABD⊥平面BCD,點E、F(E與A、D不重合)分別在棱AD,BD上,且EF⊥AD. 求證:(Ⅰ)EF∥平面ABC;
(Ⅱ)AD⊥AC.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】設函數(shù).

(1)處的切線方程;

(2)當時,函數(shù)有兩個極值點,求的取值范圍;

(3)若在點處的切線與軸平行,且函數(shù)時,其圖象上每一點處切線的傾斜角均為銳角,求的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】數(shù)列的前項和為,若數(shù)列的各項按如下規(guī)律排列:,,,,,,,…,,, …,,…有如下運算和結(jié)論:①;②數(shù)列,,,…是等比數(shù)列;③數(shù)列,,,,…的前項和為;④若存在正整數(shù),使,,則.其中正確的結(jié)論是_____.(將你認為正確的結(jié)論序號都填上)

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