已知f（x）=，且f（1）=3，
（1）試求a的值，并證明f（x）在[，+∞）上單調(diào)遞增．
（2）設關于x的方程f（x）=x+b的兩根為x1，x2，試問是否存在實數(shù)m，使得不等式m2+tm+1≥|x1-x2|對任意的b∈[2，]及t∈[-1，1]恒成立？若存在，求出m的取值范圍；若不存在說明理由．
【答案】分析：（1）將1代入函數(shù)關系式，即可求得；利用單調(diào)性的定義證明函數(shù)的單調(diào)性；
（2）利用韋達定理先求出|x1-x2|，變?yōu)椴坏仁胶愠闪栴}，再構造函數(shù)利用函數(shù)的導數(shù)求最值即可解決．
解答：解：（1）∵f（1）=3，∴a=1，∴f（x）=，設≤x1＜x2，
∴f（x2）-f（x1）=2x2+-（2x1+）=2（x2-x1）+=（x2-x1）（2-），
∵x2＞x1≥，∴x1x2≥x12≥，∴0＜＜2，
∴2-＞0又x2-x1＞0，∴f（x2）-f（x1）＞0，∴f（x2）＞f（x1），
∴f（x）在，+∞）上單調(diào)遞增．
（2）∵f（x）=x+b，∴x2-bx+1=0，∴|x1-x2|=又2≤b≤，∴0≤|x1-x2|≤3，故只須當t∈[-1，1]，使m2+mt+1≥3恒成立，記g（t）=tm+m2-2，只須：，∴，∴，∴m≥2或m≤-2，故m的取值集合是{m|m≥2或m≤-2}．
點評：本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性，考查恒成立問題的處理，考查靈活運用數(shù)學知識分析問題和解決問題的能力．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=bx，g（x）=ax2+1，h（x）=lnx．（a，b∈R）
（1）若M={x|f（x）+g（x）≥0}，-1∈M，2∈M，z=3a-b，求z的取值范圍；
（2）設F(x)=
h(x)
f(x)
，且b＜0，試判斷函數(shù)F（x）的單調(diào)性；
（3）試證明：對?n∈N*，不等式ln(
1+n
n
)e＜
1+n
n
恒成立．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

有下列幾個命題：
①函數(shù)y=
1
x+1
在（-∞，-1）∪（-1，+∞）上是減函數(shù)；
②已知f（x）在R上是增函數(shù)，若a+b＞0，則有f（a）+f（b）＞f（-a）+f（-b）；
③已知函數(shù)y=f（x）是R上的奇函數(shù)，且當x≥0時，f(x)=x(1+
3x
)，則當x＜0時，f(x)=-x(1-
3x
)；
④已知定義在R上函數(shù)f（x）滿足對?x，y∈R，f（x+y）=f（x）+f（y），且當x＞0時，f（x）＞0，則f（x）是R上的增函數(shù)；⑤如果a＞1，則函數(shù)f（x）=ax-x-a（a＞0且a≠1）有兩個零點．
其中正確命題的序號是
 
．（寫出全部正確結論的序號）

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）對定義域R內(nèi)的任意x都有f（x）=f（4-x），且當x≠2時其導函數(shù)f′（x）滿足（x-2）f′（x）＞0，若2＜a＜4則（　�。�

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知f（x）在R上是奇函數(shù)，且滿足f（x+4）=f（x），當x∈（0，2）時，f（x）=3x2，則f（7）等于
-3
-3
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知f（x）=loga
1-x
1+x
，（a＞0且a≠1）．
（1）若m，n∈（-1，1），求證f（m）+f（n）=f（
m+n
1+mn
）；
（2）判斷f（x）在其定義域上的奇偶性，并予以證明；
（3）確定f（x）在（0，1）上的單調(diào)性．

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