已知函數(shù)f(x)=2
3
cosxsinx+2sin2x(x∈R)，給出下列四個(gè)命題：
①(
π
12
，0)是函數(shù)f（x）圖象的一個(gè)對(duì)稱中心；
②f（x）的最小正周期是2π；
③f（x）在區(qū)間[-
π
6
，
π
3
]上是增函數(shù)；
④f（x）的圖象關(guān)于直線x=
π
3
對(duì)稱；
⑤x∈[-
π
4
，
π
3
]時(shí)，f（x）的值域?yàn)?span id="dk7hy8k" class="MathJye">[1-
3
，3]．
其中正確的命題為（　�。�
分析：化簡(jiǎn)原函數(shù)，可得最小正周期為T=π，排除A和C，由三角函數(shù)的性質(zhì)和不等式可得⑤錯(cuò)誤，綜合選項(xiàng)可得答案．
解答：解：化簡(jiǎn)原函數(shù)可得f（x）=
3
sin2x+1-cos2x=2sin（2x-
π
6
）+1，
可得最小正周期為T=π，故②錯(cuò)誤排除A和C
而⑤當(dāng)x∈[-
π
4
，
π
3
]時(shí)，（2x-
π
6
）∈[-
2π
3
，
π
2
]，
故-2≤2sin（2x-
π
6
）≤2，
∴f（x）的值域?yàn)閇-1，3]．故錯(cuò)誤，
故選D
點(diǎn)評(píng)：本題考查三角函數(shù)的性質(zhì)，涉及函數(shù)的對(duì)稱性和單調(diào)性以及值域，排除法是解決問(wèn)題的關(guān)鍵，屬中檔題．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=
2-xx+1
；
（1）求出函數(shù)f（x）的對(duì)稱中心；
（2）證明：函數(shù)f（x）在（-1，+∞）上為減函數(shù)；
（3）是否存在負(fù)數(shù)x0，使得f(x0)=3x0成立，若存在求出x0；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=
2-x-1，x≤0
x
，x＞0
，則f[f（-2）]=
3
3
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=2(sin2x+
3
2
)cosx-sin3x
（1）求函數(shù)f（x）的值域和最小正周期；
（2）當(dāng)x∈[0，2π]時(shí)，求使f(x)=
3
成立的x的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=2-
ax+1
(a∈R)的圖象過(guò)點(diǎn)（4，-1）
（1）求a的值；
（2）求證：f（x）在其定義域上有且只有一個(gè)零點(diǎn)；
（3）若f（x）+mx＞1對(duì)一切的正實(shí)數(shù)x均成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=
2-2cosx
+
2-2cos(
2π
3
-x)
，x∈[0，2π]，則當(dāng)x=
4π
3
4π
3
時(shí)，函數(shù)f（x）有最大值，最大值為
2
3
2
3
．

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