Question

已知橢圓

x2

4

+

y2

9

=1上任一點(diǎn)P，由點(diǎn)P向x軸作垂線段PQ，垂足為Q，點(diǎn)M在PQ上，且

PM

=2

MQ

，點(diǎn)M的軌跡為C．
（1）求曲線C的方程；
（2）過(guò)點(diǎn)D（0，-2）作直線l與曲線C交于A、B兩點(diǎn)，設(shè)N是過(guò)點(diǎn)(0，-

4

17

)且平行于x軸的直線上一動(dòng)點(diǎn)，滿足

ON

=

OA

+

OB

（O為原點(diǎn)），問(wèn)是否存在這樣的直線l，使得四邊形OANB為矩形？若存在，求出直線的方程；若不存在說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）設(shè)M（x，y）是所求曲線上的任意一點(diǎn)，然后得出的坐標(biāo)代入方程，化簡(jiǎn)即可求出軌跡C的方程．
（2）設(shè)出直線l的方程，以及與橢圓的交點(diǎn)坐標(biāo)，將直線方程代入已知C的方程，聯(lián)立并化簡(jiǎn)，根據(jù)根的判別式計(jì)算

解答：解：（1）設(shè)M（x，y）是曲線C上任一點(diǎn)，因?yàn)镻M⊥x軸，

PM

=2

MQ

，所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，3y） （2分）
點(diǎn)P在橢圓

x2

4

+

y2

9

=1上，所以

x2

4

+

(3y)2

9

=1，因此曲線C的方程是

x2

4

+y2=1…（5分）
（2）當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，顯然不滿足條件
所以設(shè)直線l的方程為y=kx-2與橢圓交于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），N點(diǎn)所在直線方程為y=-

4

17

，由

y=kx-2 x2 4 +y2=1

得(1+4k2)x2-16kx+12=0x1+x2=

16k

1+4k2

，x1x2=

12

1+4k2

，…（6分）
由△=162k2-48(1+4k2)＞0得k2＞

3

4

，即k＞

3

2

或k＜-

3

2

，…（8分）
因?yàn)?span dealflag="1" class="MathJye" mathtag="math" style="whiteSpace:nowrap;wordSpacing:normal;wordWrap:normal">

ON

=

OA

+

OB

，所以四邊形OANB為平行四邊形，…（10分）
假設(shè)存在矩形OANB，則

OA

•

OB

=0，即x₁x₂+y₁y₂=x₁x₂+k²x₁x₂-2k（x₁+x₂）+4=（1+k²）x₁x₂-2k（x₁+x₂）+4=0，
所以(1+k2)•

12

1+4k2

-2k•

16k

1+4k2

+4=0，即k2=4，k=±2，…（12分）
設(shè)N（x₀，y₀），由

ON

=

OA

+

OB

，得y0=y1+y2=k(x1+x2)-4=

16k2

1+4k2

-4=

-4

1+4k2

=-

4

17

，
即N點(diǎn)在直線y=-

4

17

，所以存在四邊形OANB為矩形，直線l的方程為y=±2x-2…（15分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查圓錐曲線的綜合運(yùn)用以及軌跡方程的應(yīng)用，通過(guò)對(duì)圓錐曲線知識(shí)的綜合運(yùn)用，考查學(xué)生的能力，屬于中檔題．