已知一條拋物線(xiàn)和一個(gè)橢圓都經(jīng)過(guò)點(diǎn)M(1,2),它們?cè)趚軸上具有相同的焦點(diǎn)F1,且兩者的對(duì)稱(chēng)軸都是坐標(biāo)軸,拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn).
(1)求拋物線(xiàn)的方程和橢圓方程;
(2)假設(shè)橢圓的另一個(gè)焦點(diǎn)是F2,經(jīng)過(guò)F2的直線(xiàn)l與拋物線(xiàn)交于P,Q兩點(diǎn),且滿(mǎn)足,求m的取值范圍.
【答案】分析:(1)假設(shè)拋物線(xiàn)、橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,利用拋物線(xiàn)和一個(gè)橢圓都經(jīng)過(guò)點(diǎn)M(1,2),它們?cè)趚軸上具有相同的焦點(diǎn)F1,即可求得拋物線(xiàn)的方程和橢圓方程;
(2)設(shè)直線(xiàn)的方程為y=k(x+1),聯(lián)立方程得,消去y得k2x2+(2k2-4)x+k2=0,根據(jù)直線(xiàn)l與拋物線(xiàn)相交于P、Q兩點(diǎn),確定k的范圍,利用,可得,利用k的范圍,即可求得m的取值范圍.
解答:解:(1)由題意可設(shè)拋物線(xiàn)方程為y2=2px(p>0),
把M(1,2)點(diǎn)代入方程得:拋物線(xiàn)方程為y2=4x…(2分)
所以F1(1,0),
設(shè)橢圓方程為,
∵橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)M,橢圓的焦點(diǎn)F1(1,0),


∴橢圓方程為…(6分)
(2)橢圓的焦點(diǎn)F1(1,0),另一個(gè)焦點(diǎn)為F2(-1,0),
設(shè)直線(xiàn)的方程為y=k(x+1),聯(lián)立方程得
消去y得k2x2+(2k2-4)x+k2=0,
因?yàn)橹本(xiàn)l與拋物線(xiàn)相交于P、Q兩點(diǎn),所以,解得-1<k<1且k≠0…(9分)
設(shè)P(x1,y1)Q(x2,y2),則,
得(x1+1,y1)=m(x2+1,y2),所以,
∵P、Q為不同的兩點(diǎn),∴,
,∴
解得
…(12分)
,
∵0<k2<1,
,即
∴m>0且m≠1…(14分)
點(diǎn)評(píng):本題重點(diǎn)考查拋物線(xiàn)、橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,考查直線(xiàn)與拋物線(xiàn)的位置關(guān)系,考查向量知識(shí)的運(yùn)用,解題的關(guān)鍵是確定k的范圍,找出k,m的關(guān)系,綜合性強(qiáng)
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知一條拋物線(xiàn)和一個(gè)橢圓都經(jīng)過(guò)點(diǎn)M(1,2),它們?cè)趚軸上具有相同的焦點(diǎn)F1,且兩者的對(duì)稱(chēng)軸都是坐標(biāo)軸,拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn).
(1)求拋物線(xiàn)的方程和橢圓方程;
(2)假設(shè)橢圓的另一個(gè)焦點(diǎn)是F2,經(jīng)過(guò)F2的直線(xiàn)l與拋物線(xiàn)交于P,Q兩點(diǎn),且滿(mǎn)足
F2P
=m
F2Q
,求m的取值范圍.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題

已知一條拋物線(xiàn)和一個(gè)橢圓都經(jīng)過(guò)點(diǎn)M(1,2),它們?cè)趚軸上具有相同的焦點(diǎn)F1,且兩者的對(duì)稱(chēng)軸都是坐標(biāo)軸,拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn).
(1)求拋物線(xiàn)的方程和橢圓方程;
(2)假設(shè)橢圓的另一個(gè)焦點(diǎn)是F2,經(jīng)過(guò)F2的直線(xiàn)l與拋物線(xiàn)交于P,Q兩點(diǎn),且滿(mǎn)足數(shù)學(xué)公式,求m的取值范圍.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:解答題

已知一條拋物線(xiàn)和一個(gè)橢圓都經(jīng)過(guò)點(diǎn)M(1,2),它們?cè)趚軸上具有相同的焦點(diǎn)F1,且兩者的對(duì)稱(chēng)軸都是坐標(biāo)軸,拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn).
(1)求拋物線(xiàn)的方程和橢圓方程;
(2)假設(shè)橢圓的另一個(gè)焦點(diǎn)是F2,經(jīng)過(guò)F2的直線(xiàn)l與拋物線(xiàn)交于P,Q兩點(diǎn),且滿(mǎn)足
F2P
=m
F2Q
,求m的取值范圍.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:2011-2012學(xué)年高二(上)期末數(shù)學(xué)試卷(文科)(解析版) 題型:解答題

已知一條拋物線(xiàn)和一個(gè)橢圓都經(jīng)過(guò)點(diǎn)M(1,2),它們?cè)趚軸上具有相同的焦點(diǎn)F1,且兩者的對(duì)稱(chēng)軸都是坐標(biāo)軸,拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn).
(1)求拋物線(xiàn)的方程和橢圓方程;
(2)假設(shè)橢圓的另一個(gè)焦點(diǎn)是F2,經(jīng)過(guò)F2的直線(xiàn)l與拋物線(xiàn)交于P,Q兩點(diǎn),且滿(mǎn)足,求m的取值范圍.

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案