Question

已知各項均為正數(shù)的數(shù)列滿足，且，其中.

（Ⅰ）求數(shù)列的通項公式；

（Ⅱ）設(shè)數(shù)列滿足是否存在正整數(shù)m、n（1<m<n），使得成等比數(shù)列？若存在，求出所有的m、n的值，若不存在，請說明理由。

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）數(shù)列的通項公式為；（Ⅱ）存在，，．

【解析】

試題分析：（Ⅰ）求數(shù)列的通項公式，首先須知道數(shù)列的特征，由題意可得，，由于各項均為正數(shù)，故有即，這樣得到數(shù)列是公比為的等比數(shù)列，由可求出，從而可得數(shù)列的通項公式；（Ⅱ）設(shè)數(shù)列滿足是否存在正整數(shù)，使得成等比數(shù)列，首先求出數(shù)列的通項公式，，然后假設(shè)存在正整數(shù)，使得成等比數(shù)列，則，整理可得，只要即可，解不等式求出的范圍，看是否有正整數(shù)，從而的結(jié)論．

試題解析：（Ⅰ）因為即

又所以有即

所以數(shù)列是公比為的等比數(shù)列

由得解得。

從而，數(shù)列的通項公式為。        6分

（II）=，若成等比數(shù)列，則，

即．

由，可得，

所以，解得：。

又，且，所以，此時．

故當且僅當，使得成等比數(shù)列。        13分

考點：等比數(shù)列的定義，及通項公式，探索性命題．