Question

已知函數(shù)的定義域為，且的圖象連續(xù)不間斷. 若函數(shù)滿足：對于給定的（且），存在，使得，則稱具有性質(zhì).

（Ⅰ）已知函數(shù)，，判斷是否具有性質(zhì)，并說明理由；

（Ⅱ）已知函數(shù) 若具有性質(zhì)，求的最大值；

（Ⅲ）若函數(shù)的定義域為，且的圖象連續(xù)不間斷，又滿足，

求證：對任意且，函數(shù)具有性質(zhì).

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）具有該性質(zhì),證明見解析;（Ⅱ）;（Ⅲ）證明見解析.

【解析】

試題分析：（Ⅰ）創(chuàng)新定義問題,首先要讀懂具有性質(zhì)P(m)的意思, 對于給定的（且），

存在，使得，按照此定義進(jìn)行判斷,假設(shè)具有該性質(zhì), 設(shè)，令

,解得,滿足定義,故具有性質(zhì)P(3);（Ⅱ）m在0到1之間,取一半,看是

否具有性質(zhì)P(),如果有,再判斷是否有大于的m,沒有的話,最大值就是;（Ⅲ）構(gòu)造函數(shù)

，則,……=

-,相加,有,分里面有零和沒零進(jìn)行討論,得到結(jié)論.

試題解析：（Ⅰ）設(shè)，即

令,  則

解得,

所以函數(shù)具有性質(zhì)

（Ⅱ）m的最大值為.

首先當(dāng)時，取,

則，,

所以函數(shù)具有性質(zhì),

假設(shè)存在，使得函數(shù)具有性質(zhì), 

則,

當(dāng)時，，，,

當(dāng)時，，，,

所以不存在，使得,

故的最大值為.

（Ⅲ）任取,

設(shè)，其中,

則有

,

,

……

,

……

,

以上各式相加得：,

當(dāng)中有一個為時，不妨設(shè)為，

即,

則函數(shù)具有性質(zhì),

當(dāng)均不為時，由于其和為，則必然存在正數(shù)和負(fù)數(shù)，

不妨設(shè) 其中，,

由于是連續(xù)的，所以當(dāng)時，至少存在一個,

（當(dāng)時，至少存在一個）,

使得，

即,

故函數(shù)具有性質(zhì).

考點：1.抽象函數(shù)的定義;2.創(chuàng)新問題情境;3.構(gòu)造函數(shù).